log(1/4)*1/log(x^2-4*x+7)>-1

$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}} > -1$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}} > -1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}} = -1$$
преобразуем
$$1 – frac{log{left (4 right )}}{log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}} = 0$$
$$1 + frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}$$
Дано уравнение:
$$1 + frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -log(4)

b1 = log(7 + x^2 – 4*x)

a2 = 1

b2 = -1

зн. получим ур-ние
$$-1 left(- log{left (4 right )}right) = log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}$$
$$log{left (4 right )} = log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log4 = log(7 + x^2 – 4*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log4 = log7+x+2+4*x

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(4) = log(7 + x^2 – 4*x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (x^{2} – 4 x + 7 right )}} > -1$$

log(1/4)
——————— > -1
1/ 2 4*9
log |9/10 – — + 7|
10 /

-log(4)
——————– > -1
-log(100) + log(421)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 1$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 1$$
$$x > 3$$

$$left(-infty < x wedge x < 1right) vee left(3 < x wedge x < inftyright)$$

(-oo, 1) U (3, oo)

$$x in left(-infty, 1right) cup left(3, inftyright)$$