log(1/9)*1/log(8)*log(x+1)*1/log(1/7)>=3

$$frac{log{left (frac{1}{9} right )} frac{1}{log{left (8 right )}}}{log{left (frac{1}{7} right )}} log{left (x + 1 right )} geq 3$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (frac{1}{9} right )} frac{1}{log{left (8 right )}}}{log{left (frac{1}{7} right )}} log{left (x + 1 right )} geq 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (frac{1}{9} right )} frac{1}{log{left (8 right )}}}{log{left (frac{1}{7} right )}} log{left (x + 1 right )} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (frac{1}{9} right )} frac{1}{log{left (8 right )}}}{log{left (frac{1}{7} right )}} log{left (x + 1 right )} = 3$$
$$frac{log{left (9 right )} log{left (x + 1 right )}}{log{left (7 right )} log{left (8 right )}} = 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при log =log(9)/(log(7)*log(8))
$$log{left (x + 1 right )} = frac{3 log{left (7 right )}}{log{left (9 right )}} log{left (8 right )}$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$x + 1 = e^{frac{3}{frac{1}{log{left (7 right )}} frac{1}{log{left (8 right )}} log{left (9 right )}}}$$
упрощаем
$$x + 1 = e^{frac{3 log{left (7 right )}}{log{left (9 right )}} log{left (8 right )}}$$
$$x = -1 + e^{frac{3 log{left (7 right )}}{log{left (9 right )}} log{left (8 right )}}$$
$$x_{1} = -1 + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}}$$
$$x_{1} = -1 + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -1 + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + -1 + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}}$$
=
$$- frac{11}{10} + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (frac{1}{9} right )} frac{1}{log{left (8 right )}}}{log{left (frac{1}{7} right )}} log{left (x + 1 right )} geq 3$$
$$frac{log{left (frac{1}{9} right )} frac{1}{log{left (8 right )}}}{log{left (frac{1}{7} right )}} log{left (1 + – frac{1}{10} + -1 + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}} right )} geq 3$$

/ / 9
| | ——–||
| | 2*log(3)||
| 1 log2 /|
log(9)*log|- — + 7 | >= 3
10 /
———————————-
log(7)*log(8)

но

/ / 9
| | ——–||
| | 2*log(3)||
| 1 log2 /|
log(9)*log|- — + 7 | < 3 10 / ---------------------------------- log(7)*log(8)

Тогда
$$x leq -1 + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq -1 + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$-1 + 7^{log{left (2^{frac{9}{2 log{left (3 right )}}} right )}} leq x wedge x < infty$$

9*log(2)
——–
2*log(3)
[-1 + 7 , oo)

$$x in left[-1 + 7^{frac{9 log{left (2 right )}}{2 log{left (3 right )}}}, inftyright)$$