log(1)*1/6*x^4

$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} leq left(frac{log{left (- x^{2} + 3 right )}}{log{left (64 right )}}right)^{6} – 1$$

Дано неравенство:
$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} leq left(frac{log{left (- x^{2} + 3 right )}}{log{left (64 right )}}right)^{6} – 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} = left(frac{log{left (- x^{2} + 3 right )}}{log{left (64 right )}}right)^{6} – 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} = left(frac{log{left (- x^{2} + 3 right )}}{log{left (64 right )}}right)^{6} – 1$$
преобразуем
$$- frac{log^{6}{left (- x^{2} + 3 right )}}{log^{6}{left (64 right )}} + 1 = 0$$
$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} + – frac{log^{6}{left (- x^{2} + 3 right )}}{log^{6}{left (64 right )}} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- x^{2} + 3 right )}$$
Дано уравнение
$$- frac{w^{6}}{log^{6}{left (64 right )}} + x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 – содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[6]{w^{6}} sqrt[6]{frac{1}{log^{6}{left (64 right )}}} = sqrt[6]{1}$$
$$sqrt[6]{w^{6}} sqrt[6]{frac{1}{log^{6}{left (64 right )}}} = -1 sqrt[6]{1}$$
или
$$frac{w}{log{left (64 right )}} = 1$$
$$frac{w}{log{left (64 right )}} = -1$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w/log64 = 1

Разделим обе части ур-ния на 1/log(64)

w = 1 / (1/log(64))

Получим ответ: w = log(64)
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w/log64 = -1

Разделим обе части ур-ния на 1/log(64)

w = -1 / (1/log(64))

Получим ответ: w = -log(64)
или
$$w_{1} = – log{left (64 right )}$$
$$w_{2} = log{left (64 right )}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = log^{6}{left (64 right )}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = log^{6}{left (64 right )}$$
где
$$r = log{left (64 right )}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (6 p right )} + cos{left (6 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (6 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (6 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 6 left(- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}right) log{left (2 right )}$$
$$z_{2} = 6 left(- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}right) log{left (2 right )}$$
$$z_{3} = 6 left(frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}right) log{left (2 right )}$$
$$z_{4} = 6 left(frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}right) log{left (2 right )}$$
$$z_{5} = – 6 log{left (2 right )}$$
$$z_{6} = 6 log{left (2 right )}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = 6 left(- frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}right) log{left (2 right )}$$
$$w_{2} = 6 left(- frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}right) log{left (2 right )}$$
$$w_{3} = 6 left(frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}right) log{left (2 right )}$$
$$w_{4} = 6 left(frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}right) log{left (2 right )}$$
$$w_{5} = – 6 log{left (2 right )}$$
$$w_{6} = 6 log{left (2 right )}$$
делаем обратную замену
$$log{left (- x^{2} + 3 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = – frac{sqrt{191}}{8}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{191}}{8}$$
$$x_{3} = – sqrt{61} i$$
$$x_{4} = sqrt{61} i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = – frac{sqrt{191}}{8}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{191}}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{sqrt{191}}{8}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{191}}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

_____
/ 191 1
– ——- – —
8 10

=
$$- frac{sqrt{191}}{8} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} leq left(frac{log{left (- x^{2} + 3 right )}}{log{left (64 right )}}right)^{6} – 1$$

6
/ / 2
| | / _____ ||
4 | | | / 191 1 | ||
/ _____ |log|3 – |- ——- – –| ||
log(1) | / 191 1 | | 8 10/ /|
——*|- ——- – –| <= |--------------------------| - 1 6 8 10/ | 1 | log (64) /

6
/ / 2
| | / _____ ||
| | | 1 / 191 | ||
0 <= |pi*I + log|-3 + |- -- - -------| || 10 8 / // -1 + ------------------------------------- 6 log (64)

Тогда
$$x leq – frac{sqrt{191}}{8}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq – frac{sqrt{191}}{8} wedge x leq frac{sqrt{191}}{8}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$x = – frac{sqrt{191}}{8} vee x = frac{sqrt{191}}{8}$$

_____ _____
-/ 191 / 191
{———, ——-}
8 8

$$x in left{- frac{sqrt{191}}{8}, frac{sqrt{191}}{8}right}$$