log(2)^2*(25-x^2)-7*log(2)*(25-x^2)+12>=0

$$- 7 left(- x^{2} + 25right) log{left (2 right )} + left(- x^{2} + 25right) log^{2}{left (2 right )} + 12 geq 0$$

Дано неравенство:
$$- 7 left(- x^{2} + 25right) log{left (2 right )} + left(- x^{2} + 25right) log^{2}{left (2 right )} + 12 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 7 left(- x^{2} + 25right) log{left (2 right )} + left(- x^{2} + 25right) log^{2}{left (2 right )} + 12 = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$- 7 left(- x^{2} + 25right) log{left (2 right )} + left(- x^{2} + 25right) log^{2}{left (2 right )} + 12 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- x^{2} log^{2}{left (2 right )} + 7 x^{2} log{left (2 right )} – 175 log{left (2 right )} + 12 + 25 log^{2}{left (2 right )} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = – log^{2}{left (2 right )} + 7 log{left (2 right )}$$
$$b = 0$$
$$c = – 175 log{left (2 right )} + 12 + 25 log^{2}{left (2 right )}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (-log(2)^2 + 7*log(2)) * (12 – 175*log(2) + 25*log(2)^2) = -(-4*log(2)^2 + 28*log(2))*(12 – 175*log(2) + 25*log(2)^2)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

_________________________ _______________________________
/ 2 / 2
/ – 4*log (2) + 28*log(2) */ -12 – 25*log (2) + 175*log(2) 1
– ————————————————————— – —
1 10
/ 2
– 2*log (2) + 14*log(2)/

=
$$- frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 7 left(- x^{2} + 25right) log{left (2 right )} + left(- x^{2} + 25right) log^{2}{left (2 right )} + 12 geq 0$$

/ 2 / 2
| / _________________________ _______________________________ | | / _________________________ _______________________________ |
| | / 2 / 2 | | | | / 2 / 2 | |
2 | | / – 4*log (2) + 28*log(2) */ -12 – 25*log (2) + 175*log(2) 1 | | | | / – 4*log (2) + 28*log(2) */ -12 – 25*log (2) + 175*log(2) 1 | |
log (2)*|25 – |- ————————————————————— – –| | – 7*log(2)*|25 – |- ————————————————————— – –| | + 12 >= 0
| | 1 10| | | | 1 10| |
| | / 2 | | | | / 2 | |
– 2*log (2) + 14*log(2)/ / / – 2*log (2) + 14*log(2)/ / /

/ 2 / 2
| / _________________________ _______________________________ | | / _________________________ _______________________________ |
| | / 2 / 2 | | | | / 2 / 2 | |
2 | | 1 / – 4*log (2) + 28*log(2) */ -12 – 25*log (2) + 175*log(2) | | | | 1 / – 4*log (2) + 28*log(2) */ -12 – 25*log (2) + 175*log(2) | | >= 0
12 + log (2)*|25 – |- — – —————————————————————| | – 7*|25 – |- — – —————————————————————| |*log(2)
| | 10 2 | | | | 10 2 | |
– 2*log (2) + 14*log(2) / / – 2*log (2) + 14*log(2) / /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$
$$x geq frac{sqrt{- 4 log^{2}{left (2 right )} + 28 log{left (2 right )}}}{- 2 log^{2}{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )}} sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + 175 log{left (2 right )}}$$

/ / _______________________________________________________________________________ / _______________________________________________________________________________
| | / 2 | | / 2 ||
| | -/ -12 – 25*log (2) + log(47890485652059026823698344598447161988085597568237568) | |/ -12 – 25*log (2) + log(47890485652059026823698344598447161988085597568237568) ||
Or|And|x <= ------------------------------------------------------------------------------------, -oo < x|, And|---------------------------------------------------------------------------------- <= x, x < oo|| | | ____________ ________ | | ____________ ________ || / 7 - log(2) */ log(2) / / 7 - log(2) */ log(2) //

$$left(x leq – frac{sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + log{left (47890485652059026823698344598447161988085597568237568 right )}}}{sqrt{- log{left (2 right )} + 7} sqrt{log{left (2 right )}}} wedge -infty < xright) vee left(frac{sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} - 12 + log{left (47890485652059026823698344598447161988085597568237568 right )}}}{sqrt{- log{left (2 right )} + 7} sqrt{log{left (2 right )}}} leq x wedge x < inftyright)$$

_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
/ 2 / 2
-/ -12 – 25*log (2) + log(47890485652059026823698344598447161988085597568237568) / -12 – 25*log (2) + log(47890485652059026823698344598447161988085597568237568)
(-oo, ————————————————————————————] U [———————————————————————————-, oo)
____________ ________ ____________ ________
/ 7 – log(2) */ log(2) / 7 – log(2) */ log(2)

$$x in left(-infty, – frac{sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + log{left (47890485652059026823698344598447161988085597568237568 right )}}}{sqrt{- log{left (2 right )} + 7} sqrt{log{left (2 right )}}}right] cup left[frac{sqrt{- 25 log^{2}{left (2 right )} – 12 + log{left (47890485652059026823698344598447161988085597568237568 right )}}}{sqrt{- log{left (2 right )} + 7} sqrt{log{left (2 right )}}}, inftyright)$$