log(2,25-x^2)^2-7*log(2,25-x^2)+12>=0

$$log^{2}{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} – 7 log{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} + 12 geq 0$$

Дано неравенство:
$$log^{2}{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} – 7 log{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} + 12 geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log^{2}{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} – 7 log{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} + 12 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log^{2}{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} – 7 log{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} + 12 = 0$$
преобразуем
$$log^{2}{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} – 7 log{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} + 12 = 0$$
$$log^{2}{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} – 7 log{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} + 12 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = 12$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-7)^2 – 4 * (1) * (12) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 4$$
$$w_{2} = 3$$
делаем обратную замену
$$log{left (- x^{2} + frac{9}{4} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 e^{3} + 9}$$
$$x_{2} = frac{1}{2} sqrt{- 4 e^{3} + 9}$$
$$x_{3} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 e^{4} + 9}$$
$$x_{4} = frac{1}{2} sqrt{- 4 e^{4} + 9}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

2/9 2 /9 2
log |- – 0 | – 7*log|- – 0 | + 12 >= 0
4 / 4 /

2
12 + (-log(4) + log(9)) – 7*log(9) + 7*log(4) >= 0

зн. неравенство выполняется всегда

$$-infty < x wedge x < infty$$

(-oo, oo)

$$x in left(-infty, inftyright)$$