log(2*x-3)*(10*x-3)>=0

$$left(10 x – 3right) log{left (2 x – 3 right )} geq 0$$

Дано неравенство:
$$left(10 x – 3right) log{left (2 x – 3 right )} geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(10 x – 3right) log{left (2 x – 3 right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$left(10 x – 3right) log{left (2 x – 3 right )} = 0$$
преобразуем
$$left(10 x – 3right) log{left (2 x – 3 right )} = 0$$
$$left(10 x – 3right) log{left (2 x – 3 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 x – 3 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w-3+10*x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

w*(-3 + 10*x) = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w left(10 x – 3right) + 3 = 3$$
Разделим обе части ур-ния на (3 + w*(-3 + 10*x))/w

w = 3 / ((3 + w*(-3 + 10*x))/w)

Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$log{left (2 x – 3 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (2 x – 3 right )} = w$$
$$log{left (2 x – 3 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
2*x – 3 = e

упрощаем
$$2 x – 3 = e^{w}$$
$$2 x = e^{w} + 3$$
$$x = frac{e^{w}}{2} + frac{3}{2}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{3}{10}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = frac{3}{10}$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{3}{10}$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{1}{5}$$
=
$$frac{1}{5}$$
подставляем в выражение
$$left(10 x – 3right) log{left (2 x – 3 right )} geq 0$$
$$left(-3 + frac{10}{5}right) log{left (-3 + frac{2}{5} right )} geq 0$$

-log(13) – pi*I + log(5) >= 0

Тогда
$$x leq frac{3}{10}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{3}{10} wedge x leq 2$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$left(2 leq x wedge x < inftyright) vee x = frac{3}{10}$$

{3/10} U [2, oo)

$$x in left{frac{3}{10}right} cup left[2, inftyright)$$