log(2*x-9)*1/log(5/6)>log(x)*1/log(5/6)

$$frac{log{left (2 x – 9 right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} > frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (2 x – 9 right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} > frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (2 x – 9 right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} = frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (2 x – 9 right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} = frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (frac{5}{6} right )}} left(- log{left (x right )} + log{left (2 x – 9 right )}right) = 0$$
$$- frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} + frac{log{left (2 x – 9 right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (6 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} + frac{log{left (2 x – 9 right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(-9 + 2*x)

b1 = -log(6) + log(5)

a2 = log(x)

b2 = -log(6) + log(5)

зн. получим ур-ние
$$left(- log{left (6 right )} + log{left (5 right )}right) log{left (2 x – 9 right )} = left(- log{left (6 right )} + log{left (5 right )}right) log{left (x right )}$$
$$left(- log{left (6 right )} + log{left (5 right )}right) log{left (2 x – 9 right )} = left(- log{left (6 right )} + log{left (5 right )}right) log{left (x right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log+6 + log5)*log-9+2*x = (-log(6) + log(5))*log(x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-log+6 + log5)*log-9+2*x = -log+6 + log5)*logx

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(-log(6) + log(5))*log(-9 + 2*x) = -log+6 + log5)*logx

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

9 + (-log(6) + log(5))*log(-9 + 2*x) = 9 + (-log(6) + log(5))*log(x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (6 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 9$$
$$x_{1} = 9$$
Данные корни
$$x_{1} = 9$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{89}{10}$$
=
$$frac{89}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (2 x – 9 right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} > frac{log{left (x right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}}$$
$$frac{log{left (-9 + frac{178}{10} 1 right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}} > frac{log{left (frac{89}{10} right )}}{log{left (frac{5}{6} right )}}$$

-log(5) + log(44) -log(10) + log(89)
—————– > ——————
-log(6) + log(5) -log(6) + log(5)

значит решение неравенства будет при:
$$x < 9$$

_____
——-ο——-
x1

Данное неравенство не имеет решений