log(3-x)*(x+4)*log(5*x-6)*1/log(4*x)*1/sin(pi+x)>=0

$$frac{frac{1}{log{left (4 x right )}}}{sin{left (x + pi right )}} left(x + 4right) log{left (- x + 3 right )} log{left (5 x – 6 right )} geq 0$$

Дано неравенство:
$$frac{frac{1}{log{left (4 x right )}}}{sin{left (x + pi right )}} left(x + 4right) log{left (- x + 3 right )} log{left (5 x – 6 right )} geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{frac{1}{log{left (4 x right )}}}{sin{left (x + pi right )}} left(x + 4right) log{left (- x + 3 right )} log{left (5 x – 6 right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{frac{1}{log{left (4 x right )}}}{sin{left (x + pi right )}} left(x + 4right) log{left (- x + 3 right )} log{left (5 x – 6 right )} = 0$$
преобразуем
$$- frac{log{left (5 x – 6 right )}}{log{left (4 x right )} sin{left (x right )}} left(x log{left (- x + 3 right )} + log{left (left(x – 3right)^{4} right )}right) = 0$$
$$- frac{1}{log{left (4 x right )} sin{left (x right )}} left(x log{left (- x + 3 right )} log{left (5 x – 6 right )} + log{left (left(- x + 3right)^{4} right )} log{left (5 x – 6 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (4 x right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{1}{w sin{left (x right )}} left(x log{left (- x + 3 right )} log{left (5 x – 6 right )} + log{left (left(- x + 3right)^{4} right )} log{left (5 x – 6 right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$- frac{log{left (5 x – 6 right )}}{sin{left (x right )}} left(x log{left (- x + 3 right )} + log{left (left(x – 3right)^{4} right )}right) = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-x*log-3-x + log-3+x^4))*log-6+5*xsinx = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-(x*log(3 – x) + log((-3 + x)^4))*log(-6 + 5*x)/sin(x) = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

/ / 4
x*log(3 – x) + log(-3 + x) //*log(-6 + 5*x)
3 – ——————————————— = 3
1
sin (x)

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (4 x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (4 x right )} = w$$
$$log{left (4 x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
4*x = e

упрощаем
$$4 x = e^{w}$$
$$x = frac{e^{w}}{4}$$
подставляем w:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = frac{7}{5}$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = frac{7}{5}$$
$$x_{3} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = frac{7}{5}$$
$$x_{3} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{frac{1}{log{left (4 x right )}}}{sin{left (x + pi right )}} left(x + 4right) log{left (- x + 3 right )} log{left (5 x – 6 right )} geq 0$$

/ / -41 / 41 /5*(-41)
|log|3 – —-|*|- — + 4|*log|——- – 6||
| 10 / 10 / 10 /|
|—————————————–|
| 1/4*(-41) |
| log |——-| |
10 / /
——————————————- >= 0
1/ 41
sin |pi – –|
10/

/ log(71) log(10)
|- ——- + ——-|*(-log(2) + pi*I + log(53))
10 10 /
———————————————— >= 0
/41
(-log(5) + pi*I + log(82))*sin|–|
10/

Тогда
$$x leq -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -4 wedge x leq frac{7}{5}$$

_____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-
x1 x2 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x geq -4 wedge x leq frac{7}{5}$$
$$x geq 2$$

$$left(2 leq x wedge x < piright) vee x = -4 vee x = frac{7}{5}$$

{-4, 7/5} U [2, pi)

$$x in left{-4, frac{7}{5}right} cup left[2, piright)$$