log(3)*1/log(4*x-7)

$$frac{log{left (3 right )}}{log{left (4 x – 7 right )}} leq 2$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (3 right )}}{log{left (4 x – 7 right )}} leq 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (3 right )}}{log{left (4 x – 7 right )}} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (3 right )}}{log{left (4 x – 7 right )}} = 2$$
преобразуем
$$-2 + frac{log{left (3 right )}}{log{left (4 x – 7 right )}} = 0$$
$$-2 + frac{log{left (3 right )}}{log{left (4 x – 7 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (4 x – 7 right )}$$
Дано уравнение:
$$-2 + frac{log{left (3 right )}}{log{left (4 x – 7 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(3)

b1 = log(-7 + 4*x)

a2 = 1

b2 = 1/2

зн. получим ур-ние
$$frac{1}{2} log{left (3 right )} = log{left (4 x – 7 right )}$$
$$frac{1}{2} log{left (3 right )} = log{left (4 x – 7 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log3/2 = log(-7 + 4*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log3/2 = log-7+4*x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (4 x – 7 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (4 x – 7 right )} = w$$
$$log{left (4 x – 7 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
4*x – 7 = e

упрощаем
$$4 x – 7 = e^{w}$$
$$4 x = e^{w} + 7$$
$$x = frac{e^{w}}{4} + frac{7}{4}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4}$$
$$x_{1} = frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4}$$
=
$$frac{sqrt{3}}{4} + frac{33}{20}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (3 right )}}{log{left (4 x – 7 right )}} leq 2$$
$$frac{log{left (3 right )}}{log{left (-7 + 4 left(- frac{1}{10} + frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4}right) right )}} leq 2$$

log(3)
—————-
/ 2 ___ <= 2 log|- - + / 3 | 5 /

но

log(3)
—————-
/ 2 ___ >= 2
log|- – + / 3 |
5 /

Тогда
$$x leq frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4} leq x wedge x < infty$$

___
7 / 3
[- + —–, oo)
4 4

$$x in left[frac{sqrt{3}}{4} + frac{7}{4}, inftyright)$$