log(3)*(6*x+19)^3*1/((3*x+1)^2)*1/(log(3)*(6*x+19)^2)

$$frac{left(6 x + 19right)^{3} log{left (3 right )} frac{1}{left(3 x + 1right)^{2}}}{left(6 x + 19right)^{2} log{left (3 right )}} leq 1$$

Дано неравенство:
$$frac{left(6 x + 19right)^{3} log{left (3 right )} frac{1}{left(3 x + 1right)^{2}}}{left(6 x + 19right)^{2} log{left (3 right )}} leq 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{left(6 x + 19right)^{3} log{left (3 right )} frac{1}{left(3 x + 1right)^{2}}}{left(6 x + 19right)^{2} log{left (3 right )}} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$frac{left(6 x + 19right)^{3} log{left (3 right )} frac{1}{left(3 x + 1right)^{2}}}{left(6 x + 19right)^{2} log{left (3 right )}} = 1$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
(1 + 3*x)^2
получим:
$$frac{left(3 x + 1right)^{2} left(6 x + 19right)}{left(3 x + 1right)^{2}} = left(3 x + 1right)^{2}$$
$$6 x + 19 = left(3 x + 1right)^{2}$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$6 x + 19 = left(3 x + 1right)^{2}$$
в
$$- 9 x^{2} + 18 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -9$$
$$b = 0$$
$$c = 18$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (-9) * (18) = 648

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – sqrt{2}$$
$$x_{2} = sqrt{2}$$
$$x_{1} = – sqrt{2}$$
$$x_{2} = sqrt{2}$$
$$x_{1} = – sqrt{2}$$
$$x_{2} = sqrt{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = – sqrt{2}$$
$$x_{2} = sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___ 1
– / 2 – —
10

=
$$- sqrt{2} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{left(6 x + 19right)^{3} log{left (3 right )} frac{1}{left(3 x + 1right)^{2}}}{left(6 x + 19right)^{2} log{left (3 right )}} leq 1$$

/ 3
| / / ___ 1 |
|log(3)*|6*|- / 2 – –| + 19| |
| 10/ / |
|——————————-|
| 1 |
| / 2 |
| |/ / ___ 1 | |
| ||3*|- / 2 – –| + 1| | |
10/ / / /
———————————- <= 1 1 / 2 | / / ___ 1 | |log(3)*|6*|- / 2 - --| + 19| | 10/ / /

92 ___
— – 6*/ 2
5
—————
2 <= 1 /7 ___ |-- - 3*/ 2 | 10 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – sqrt{2}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – sqrt{2}$$
$$x geq sqrt{2}$$

$$left(x leq – sqrt{2} wedge -infty < xright) vee left(sqrt{2} leq x wedge x < inftyright)$$

___ ___
(-oo, -/ 2 ] U [/ 2 , oo)

$$x in left(-infty, – sqrt{2}right] cup left[sqrt{2}, inftyright)$$