log(3*x-8)^(1/4)

$$sqrt[4]{log{left (3 x – 8 right )}} < 2$$

Дано неравенство:
$$sqrt[4]{log{left (3 x – 8 right )}} < 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt[4]{log{left (3 x – 8 right )}} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt[4]{log{left (3 x – 8 right )}} = 2$$
преобразуем
$$sqrt[4]{log{left (3 x – 8 right )}} – 2 = 0$$
$$sqrt[4]{log{left (3 x – 8 right )}} – 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (3 x – 8 right )}$$
Дано уравнение
$$sqrt[4]{log{left (3 x – 8 right )}} – 2 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 1/4 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Возведём обе части ур-ния в(о) 4-ую степень:
Получим:
$$left(sqrt[4]{0 w + log{left (3 x – 8 right )}}right)^{4} = 2^{4}$$
или
$$log{left (3 x – 8 right )} = 16$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log-8+3*x = 16

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$log{left (3 x – 8 right )} + 8 = 24$$
Данное ур-ние не имеет решений

делаем обратную замену
$$log{left (3 x – 8 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (3 x – 8 right )} = w$$
$$log{left (3 x – 8 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
3*x – 8 = e

упрощаем
$$3 x – 8 = e^{w}$$
$$3 x = e^{w} + 8$$
$$x = frac{e^{w}}{3} + frac{8}{3}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{8}{3} + frac{e^{16}}{3}$$
$$x_{1} = frac{8}{3} + frac{e^{16}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{8}{3} + frac{e^{16}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{8}{3} + frac{e^{16}}{3}$$
=
$$frac{77}{30} + frac{e^{16}}{3}$$
подставляем в выражение
$$sqrt[4]{log{left (3 x – 8 right )}} < 2$$
$$sqrt[4]{log{left (-8 + 3 left(- frac{1}{10} + frac{8}{3} + frac{e^{16}}{3}right) right )}} < 2$$

_________________
/ / 3 16
4 / log|- — + e | < 2 / 10 /

значит решение неравенства будет при:
$$x < frac{8}{3} + frac{e^{16}}{3}$$

_____
——-ο——-
x1

$$-infty < x wedge x < frac{8}{3} + frac{e^{16}}{3}$$

16
8 e
(-oo, – + —)
3 3

$$x in left(-infty, frac{8}{3} + frac{e^{16}}{3}right)$$