log(3*x+8)*1/log(1/4)>=-2

$$frac{log{left (3 x + 8 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} geq -2$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (3 x + 8 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} geq -2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (3 x + 8 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} = -2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (3 x + 8 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} = -2$$
$$- frac{log{left (3 x + 8 right )}}{log{left (4 right )}} = -2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при log =-1/log(4)
$$log{left (3 x + 8 right )} = 2 log{left (4 right )}$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$3 x + 8 = e^{- 2 left(- log{left (4 right )}right)}$$
упрощаем
$$3 x + 8 = 16$$
$$3 x = 8$$
$$x = frac{8}{3}$$
$$x_{1} = frac{8}{3}$$
$$x_{1} = frac{8}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{8}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{77}{30}$$
=
$$frac{77}{30}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (3 x + 8 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} geq -2$$
$$frac{log{left (frac{231}{30} 1 + 8 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} geq -2$$

-(-log(10) + log(157))
———————– >= -2
log(4)

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{8}{3}$$

_____
——-•——-
x1

$$x leq frac{8}{3} wedge -infty < x$$

(-oo, 8/3]

$$x in left(-infty, frac{8}{3}right]$$