log(3*x)^2+2>3*log(3)

$$log^{2}{left (3 x right )} + 2 > 3 log{left (3 right )}$$

Дано неравенство:
$$log^{2}{left (3 x right )} + 2 > 3 log{left (3 right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log^{2}{left (3 x right )} + 2 = 3 log{left (3 right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log^{2}{left (3 x right )} + 2 = 3 log{left (3 right )}$$
преобразуем
$$log^{2}{left (3 x right )} – log{left (27 right )} + 2 = 0$$
$$log^{2}{left (3 x right )} + 2 – 3 log{left (3 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение
$$log^{2}{left (3 x right )} + 2 – 3 log{left (3 right )} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 2 – содержит чётное число 2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt{left(0 w + log{left (3 x right )}right)^{2}} = sqrt{-2 + 3 log{left (3 right )}}$$
$$sqrt{left(0 w + log{left (3 x right )}right)^{2}} = -1 sqrt{-2 + 3 log{left (3 right )}}$$
или
$$log{left (3 x right )} = sqrt{-2 + 3 log{left (3 right )}}$$
$$log{left (3 x right )} = – sqrt{-2 + 3 log{left (3 right )}}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log3*x = sqrt(-2 + 3*log(3))

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log3*x = sqrt-2+3*log+3)

Данное ур-ние не имеет решений
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log3*x = -sqrt(-2 + 3*log(3))

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log3*x = -sqrt-2+3*log+3)

Данное ур-ние не имеет решений
или

делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}}$$
$$x_{2} = frac{1}{3} e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}$$
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}}$$
$$x_{2} = frac{1}{3} e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{3 e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}}$$
$$x_{2} = frac{1}{3} e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

______________
-/ -2 + log(27)
e 1
—————— – —
3 10

=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{3 e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}}$$
подставляем в выражение
$$log^{2}{left (3 x right )} + 2 > 3 log{left (3 right )}$$

/ / ______________
| | -/ -2 + log(27) ||
2| |e 1 ||
log |3*|—————— – –|| + 2 > 3*log(3)
3 10//

/ ______________
2| 3 -/ -2 + log(27) |
2 + log |- — + e | > 3*log(3)
10 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{1}{3 e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{1}{3 e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}}$$
$$x > frac{1}{3} e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}$$

$$left(-infty < x wedge x < frac{1}{3 e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}}right) vee left(x < infty wedge frac{1}{3} e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}} < xright)$$

______________ ______________
-/ -2 + log(27) / -2 + log(27)
e e
(-oo, ——————) U (—————–, oo)
3 3

$$x in left(-infty, frac{1}{3 e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}}right) cup left(frac{1}{3} e^{sqrt{-2 + log{left (27 right )}}}, inftyright)$$