log(4)*1/log(x+32)>log(4)*1/log(1-x)+log(4)*1/log(8-x)

$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} > frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 8 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} > frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 8 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} = frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 8 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} = frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 8 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}}$$
преобразуем
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} – frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 8 right )}} – frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}} = 0$$
$$- frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 8 right )}} – frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 8 right )}} – frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -log(4)

b1 = log(8 – x)

a2 = 1

b2 = 1/(log(4)/log(1 – x) – log(4)/log(32 + x))

зн. получим ур-ние
$$frac{-1 log{left (4 right )}}{- frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}}} = log{left (- x + 8 right )}$$
$$- frac{log{left (4 right )}}{- frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}}} = log{left (- x + 8 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-log4log+4log1+x – log4log32+x) = log(8 – x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-log4log+4log1+x – log4log32+x) = log8+x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (2 right )} = w$$
подставляем w:

False

$$x_{2} = -26.4637711325$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = -26.4637711325$$
Данные корни
$$x_{1} = -26.4637711325$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$-26.5637711325$$
=
$$-26.5637711325$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 32 right )}} > frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 8 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (- x + 1 right )}}$$

log(4) log(4) log(4)
————————- > ———————— + ————————
1 1 1
log (-26.5637711325 + 32) log (1 – -26.5637711325) log (8 – -26.5637711325)

0.590637591756975*log(4) > 0.583784617786581*log(4)

значит решение неравенства будет при:
$$x < -26.4637711325$$

_____
——-ο——-
x1