log(4)*(7+x)>3

$$left(x + 7right) log{left (4 right )} > 3$$

Дано неравенство:
$$left(x + 7right) log{left (4 right )} > 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(x + 7right) log{left (4 right )} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение:

log(4)*(7+x) = 3

Раскрываем выражения:

14*log(2) + 2*x*log(2) = 3

Сокращаем, получаем:

-3 + 14*log(2) + 2*x*log(2) = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-3 + 14*log2 + 2*x*log2 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$2 x log{left (2 right )} + 14 log{left (2 right )} = 3$$
Разделим обе части ур-ния на (14*log(2) + 2*x*log(2))/x

x = 3 / ((14*log(2) + 2*x*log(2))/x)

Получим ответ: x = (3 – log(16384))/(2*log(2))
$$x_{1} = frac{- log{left (16384 right )} + 3}{2 log{left (2 right )}}$$
$$x_{1} = frac{- log{left (16384 right )} + 3}{2 log{left (2 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{- log{left (16384 right )} + 3}{2 log{left (2 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

3 – log(16384) 1
————– – —
1 10
2*log (2)

=
$$frac{- log{left (16384 right )} + 3}{2 log{left (2 right )}} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left(x + 7right) log{left (4 right )} > 3$$

/ 3 – log(16384) 1
log(4)*|7 + ————– – –| > 3
| 1 10|
2*log (2) /

/69 3 – log(16384)
|– + ————–|*log(4) > 3
10 2*log(2) /

Тогда
$$x < frac{- log{left (16384 right )} + 3}{2 log{left (2 right )}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > frac{- log{left (16384 right )} + 3}{2 log{left (2 right )}}$$

_____
/
——-ο——-
x1

/ 3 – log(16384)
And|x < oo, -------------- < x| 2*log(2) /

$$x < infty wedge frac{- log{left (16384 right )} + 3}{2 log{left (2 right )}} < x$$

3 – log(16384)
(————–, oo)
2*log(2)

$$x in left(frac{- log{left (16384 right )} + 3}{2 log{left (2 right )}}, inftyright)$$