(log(49*x2)*1/log(7)-7)*1/(log(27*x)-4)

$$frac{frac{log{left (49 x_{2} right )}}{log{left (7 right )}} – 7}{log{left (27 x right )} – 4} leq 1$$

Дано неравенство:
$$frac{frac{log{left (49 x_{2} right )}}{log{left (7 right )}} – 7}{log{left (27 x right )} – 4} leq 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{frac{log{left (49 x_{2} right )}}{log{left (7 right )}} – 7}{log{left (27 x right )} – 4} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{frac{log{left (49 x_{2} right )}}{log{left (7 right )}} – 7}{log{left (27 x right )} – 4} = 1$$
преобразуем
$$frac{left(- log{left (x right )} – log{left (27 right )} + 4right) log{left (7 right )} + log{left (x_{2} right )} – log{left (16807 right )}}{left(log{left (x right )} – 4 + log{left (27 right )}right) log{left (7 right )}} = 0$$
$$frac{frac{1}{log{left (7 right )}} left(log{left (x_{2} right )} + log{left (49 right )}right) – 7}{log{left (x right )} – 4 + log{left (27 right )}} – 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{frac{1}{log{left (7 right )}} left(log{left (x_{2} right )} + log{left (49 right )}right) – 7}{w – 4 + log{left (27 right )}} – 1 = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -7 + (log(49) + log(x2))/log(7)

b1 = -4 + w + log(27)

a2 = 1

b2 = 1

зн. получим ур-ние
$$frac{1}{log{left (7 right )}} left(log{left (x_{2} right )} + log{left (49 right )}right) – 7 = w – 4 + log{left (27 right )}$$
$$frac{1}{log{left (7 right )}} left(log{left (x_{2} right )} + log{left (49 right )}right) – 7 = w – 4 + log{left (27 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-7 + log+49 + logx2)/log7 = -4 + w + log(27)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-7 + log+49 + logx2)/log7 = -4 + w + log27

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-7 + (log(49) + log(x2))/log(7) = -4 + w + log27

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$frac{1}{log{left (7 right )}} left(log{left (x_{2} right )} + log{left (49 right )}right) = w + 3 + log{left (27 right )}$$
Переносим слагаемые с неизвестным w
из правой части в левую:

log(49) + log(x2)
-w + —————– = 3 + log(27)
1
log (7)

Разделим обе части ур-ния на (-w + (log(49) + log(x2))/log(7))/w

w = 3 + log(27) / ((-w + (log(49) + log(x2))/log(7))/w)

Получим ответ: w = (log(x2) + log(7^(-1 – log(27))))/log(7)
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{x_{2}^{frac{1}{log{left (7 right )}}}}{27 e}$$
$$x_{1} = frac{x_{2}^{frac{1}{log{left (7 right )}}}}{27 e}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{x_{2}^{frac{1}{log{left (7 right )}}}}{27 e}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{x_{2}^{frac{1}{log{left (7 right )}}}}{27 e^{1}} + – frac{1}{10}$$
=
$$frac{x_{2}^{frac{1}{log{left (7 right )}}}}{27 e} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{frac{log{left (49 x_{2} right )}}{log{left (7 right )}} – 7}{log{left (27 x right )} – 4} leq 1$$
$$frac{frac{log{left (49 x_{2} right )}}{log{left (7 right )}} – 7}{log{left (27 left(frac{x_{2}^{frac{1}{log{left (7 right )}}}}{27 e^{1}} + – frac{1}{10}right) right )} – 4} leq 1$$

log(49*x2)
-7 + ———-
log(7)
—————————–
/ 1 <= 1 | ------ | | 27 log(7) -1| -4 + log|- -- + x2 *e | 10 /

Тогда
$$x leq frac{x_{2}^{frac{1}{log{left (7 right )}}}}{27 e}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq frac{x_{2}^{frac{1}{log{left (7 right )}}}}{27 e}$$

_____
/
——-•——-
x1