log(4^(x+2),16)*1/log(4^(x+2),-16*x)

$$frac{log{left (4^{x + 2},16 right )}}{log{left (4^{x + 2},- 16 x right )}} < frac{1}{log{left (4,log{left (frac{1}{left(frac{22}{5}right)^{x}} right )} right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (4^{x + 2},16 right )}}{log{left (4^{x + 2},- 16 x right )}} < frac{1}{log{left (4,log{left (frac{1}{left(frac{22}{5}right)^{x}} right )} right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (4^{x + 2},16 right )}}{log{left (4^{x + 2},- 16 x right )}} = frac{1}{log{left (4,log{left (frac{1}{left(frac{22}{5}right)^{x}} right )} right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (4^{x + 2},16 right )}}{log{left (4^{x + 2},- 16 x right )}} = frac{1}{log{left (4,log{left (frac{1}{left(frac{22}{5}right)^{x}} right )} right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{4 log{left (2 right )}} left(log{left (- x right )} – 2 log{left (log{left (22^{- x} 5^{x} right )} right )} + log{left (16 right )}right) = 0$$
$$frac{log{left (4^{x + 2},16 right )}}{log{left (4^{x + 2},- 16 x right )}} – frac{1}{log{left (4,log{left (frac{1}{left(frac{22}{5}right)^{x}} right )} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (4 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (4^{x + 2},16 right )}}{log{left (4^{x + 2},- 16 x right )}} – frac{1}{log{left (4,log{left (frac{1}{left(frac{22}{5}right)^{x}} right )} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(-16*x)

b1 = log(16)

a2 = log(log((22/5)^(-x)))

b2 = log(4)

зн. получим ур-ние
$$log{left (4 right )} log{left (- 16 x right )} = log{left (16 right )} log{left (log{left (left(frac{22}{5}right)^{- x} right )} right )}$$
$$log{left (4 right )} log{left (- 16 x right )} = log{left (16 right )} log{left (log{left (left(frac{22}{5}right)^{- x} right )} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log4log-16*x = log(16)*log(log((22/5)^(-x)))

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log4log-16*x = log16loglog+22/5^-x))

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (4 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = – frac{16}{left(- log{left (22 right )} + log{left (5 right )}right)^{2}}$$
$$x_{1} = – frac{16}{left(- log{left (22 right )} + log{left (5 right )}right)^{2}}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{16}{left(- log{left (22 right )} + log{left (5 right )}right)^{2}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

16 1
– ——————– – —
2 10
(-log(22) + log(5))

=
$$- frac{16}{left(- log{left (22 right )} + log{left (5 right )}right)^{2}} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (4^{x + 2},16 right )}}{log{left (4^{x + 2},- 16 x right )}} < frac{1}{log{left (4,log{left (frac{1}{left(frac{22}{5}right)^{x}} right )} right )}}$$

/ 16 1
| – ——————– – — + 2 |
| 2 10 |
| (-log(22) + log(5)) |
log4 , 16/ 1
————————————————————————- < -------------------------------------------- / 16 1 / / 1 | - -------------------- - -- + 2 | log|4, log|-------------------------------|| | 2 10 | | | 16 1 || 1| (-log(22) + log(5)) / 16 1 | | | - -------------------- - --|| log |4 , -16*|- -------------------- - --|| | | 2 10|| | | 2 10|| | | (-log(22) + log(5)) || (-log(22) + log(5)) // 22/5 //

/8 256 / / 1 16
log|- + ——————–| | | — + ——————–||
|5 2| | | 10 2||
(-log(22) + log(5)) / < | | (-log(22) + log(5)) || ----------------------------- loglog22/5 // log(16) --------------------------------------- log(4)

значит решение неравенства будет при:
$$x < - frac{16}{left(- log{left (22 right )} + log{left (5 right )}right)^{2}}$$

_____
——-ο——-
x1

$$-infty < x wedge x < - frac{16}{left(- log{left (22 right )} + log{left (5 right )}right)^{2}}$$

-16
(-oo, ——————–)
2
(-log(22) + log(5))

$$x in left(-infty, – frac{16}{left(- log{left (22 right )} + log{left (5 right )}right)^{2}}right)$$