log(4*x+3)*1/log(16)>1/2

$$frac{log{left (4 x + 3 right )}}{log{left (16 right )}} > frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (4 x + 3 right )}}{log{left (16 right )}} > frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (4 x + 3 right )}}{log{left (16 right )}} = frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (4 x + 3 right )}}{log{left (16 right )}} = frac{1}{2}$$
$$frac{log{left (4 x + 3 right )}}{log{left (16 right )}} = frac{1}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при log =1/log(16)
$$log{left (4 x + 3 right )} = frac{1}{2} log{left (16 right )}$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$4 x + 3 = e^{frac{1}{2 frac{1}{log{left (16 right )}}}}$$
упрощаем
$$4 x + 3 = 4$$
$$4 x = 1$$
$$x = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = frac{1}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{3}{20}$$
=
$$frac{3}{20}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (4 x + 3 right )}}{log{left (16 right )}} > frac{1}{2}$$
$$frac{log{left (frac{12}{20} 1 + 3 right )}}{log{left (16 right )}} > frac{1}{2}$$

-log(5) + log(18)
—————– > 1/2
log(16)

Тогда
$$x < frac{1}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > frac{1}{4}$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$frac{1}{4} < x wedge x < infty$$

(1/4, oo)

$$x in left(frac{1}{4}, inftyright)$$