log(4^x+81^x-4*9^x+3)*1/log(2)>=2*x

$$frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (- 4 cdot 9^{x} + 4^{x} + 81^{x} + 3 right )} geq 2 x$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (- 4 cdot 9^{x} + 4^{x} + 81^{x} + 3 right )} geq 2 x$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (- 4 cdot 9^{x} + 4^{x} + 81^{x} + 3 right )} = 2 x$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (- 4 cdot 9^{x} + 4^{x} + 81^{x} + 3 right )} = 2 x$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (2 right )}} left(- x log{left (4 right )} + log{left (4^{x} + 81^{x} – 4 cdot 9^{x} + 3 right )}right) = 0$$
$$frac{1}{log{left (2 right )}} left(- x log{left (4 right )} + log{left (4^{x} + 81^{x} – 4 cdot 9^{x} + 3 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w} left(- x log{left (4 right )} + log{left (4^{x} + 81^{x} – 4 cdot 9^{x} + 3 right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$- x log{left (4 right )} + log{left (4^{x} + 81^{x} – 4 cdot 9^{x} + 3 right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-x*log4 + log3+4+x+81+x+4*9+x = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-x*log(4) + log(3 + 4^x + 81^x – 4*9^x) = 0

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (2 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 0$$
Данные корни
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 0.5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$-0.1$$
=
$$-0.1$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (- 4 cdot 9^{x} + 4^{x} + 81^{x} + 3 right )} geq 2 x$$

/ -0.1 -0.1 -0.1
log4 + 81 – 4*9 + 3/
——————————— >= 2*-0.1
1
log (2)

0.26541984621337
—————- >= -0.2
log(2)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq 0$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq 0$$
$$x geq 0.5$$