log(512)*1/log(x)

$$frac{log{left (512 right )}}{log{left (x right )}} leq frac{log{left (frac{64}{x} right )}}{log{left (2 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (512 right )}}{log{left (x right )}} leq frac{log{left (frac{64}{x} right )}}{log{left (2 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (512 right )}}{log{left (x right )}} = frac{log{left (frac{64}{x} right )}}{log{left (2 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (512 right )}}{log{left (x right )}} = frac{log{left (frac{64}{x} right )}}{log{left (2 right )}}$$
преобразуем
$$frac{log{left (frac{x}{64} right )} log{left (x right )} + log{left (512^{log{left (2 right )}} right )}}{log{left (2 right )} log{left (x right )}} = 0$$
$$frac{1}{log{left (2 right )} log{left (x right )}} left(log{left (frac{x}{64} right )} log{left (x right )} + log{left (2 right )} log{left (512 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w log{left (x right )}} left(w log{left (512 right )} + log{left (frac{x}{64} right )} log{left (x right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*log(x)
получим:
$$w left(frac{log{left (512 right )}}{log{left (x right )}} + frac{1}{w} log{left (frac{x}{64} right )}right) log{left (x right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

wlog+x/64w + log512logx)*logx = 0

Разделим обе части ур-ния на (log(x/64)/w + log(512)/log(x))*log(x)

w = 0 / ((log(x/64)/w + log(512)/log(x))*log(x))

Получим ответ: w = -log(x)*log(x/64)/log(512)
делаем обратную замену
$$log{left (2 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{1} = 8$$
Данные корни
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{79}{10}$$
=
$$frac{79}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (512 right )}}{log{left (x right )}} leq frac{log{left (frac{64}{x} right )}}{log{left (2 right )}}$$
$$frac{log{left (512 right )}}{log{left (frac{79}{10} right )}} leq frac{log{left (frac{64}{frac{79}{10}} right )}}{log{left (2 right )}}$$

log(512) -log(79) + log(640)
—————— <= ------------------- -log(10) + log(79) log(2)

но

log(512) -log(79) + log(640)
—————— >= ——————-
-log(10) + log(79) log(2)

Тогда
$$x leq 8$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq 8$$

_____
/
——-•——-
x1

$$left(0 < x wedge x < 1right) vee x = 8$$

(0, 1) U {8}

$$x in left(0, 1right) cup left{8right}$$