log(5)*(4*x+1)

$$left(4 x + 1right) log{left (5 right )} leq 2$$

Дано неравенство:
$$left(4 x + 1right) log{left (5 right )} leq 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(4 x + 1right) log{left (5 right )} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:

log(5)*(4*x+1) = 2

Раскрываем выражения:

4*x*log(5) + log(5) = 2

Сокращаем, получаем:

-2 + 4*x*log(5) + log(5) = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-2 + 4*x*log5 + log5 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$4 x log{left (5 right )} + log{left (5 right )} = 2$$
Разделим обе части ур-ния на (4*x*log(5) + log(5))/x

x = 2 / ((4*x*log(5) + log(5))/x)

Получим ответ: x = (2 – log(5))/(4*log(5))
$$x_{1} = frac{- log{left (5 right )} + 2}{4 log{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = frac{- log{left (5 right )} + 2}{4 log{left (5 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{- log{left (5 right )} + 2}{4 log{left (5 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

2 – log(5) 1
———- – —
1 10
4*log (5)

=
$$- frac{1}{10} + frac{- log{left (5 right )} + 2}{4 log{left (5 right )}}$$
подставляем в выражение
$$left(4 x + 1right) log{left (5 right )} leq 2$$

/ /2 – log(5) 1
log(5)*|4*|———- – –| + 1| <= 2 | | 1 10| | 4*log (5) / /

/3 2 – log(5)
|- + ———-|*log(5) <= 2 5 log(5) /

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{- log{left (5 right )} + 2}{4 log{left (5 right )}}$$

_____
——-•——-
x1

/ 2 – log(5)
And|x <= ----------, -oo < x| 4*log(5) /

$$x leq frac{- log{left (5 right )} + 2}{4 log{left (5 right )}} wedge -infty < x$$

2 – log(5)
(-oo, ———-]
4*log(5)

$$x in left(-infty, frac{- log{left (5 right )} + 2}{4 log{left (5 right )}}right]$$