log(5)^(x+2)>1/log(5)

$$log^{x + 2}{left (5 right )} > frac{1}{log{left (5 right )}}$$

Дано неравенство:
$$log^{x + 2}{left (5 right )} > frac{1}{log{left (5 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log^{x + 2}{left (5 right )} = frac{1}{log{left (5 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$log^{x + 2}{left (5 right )} = frac{1}{log{left (5 right )}}$$
или
$$log^{x + 2}{left (5 right )} – frac{1}{log{left (5 right )}} = 0$$
или
$$log^{2}{left (5 right )} log^{x}{left (5 right )} = frac{1}{log{left (5 right )}}$$
или
$$log^{x}{left (5 right )} = frac{1}{log^{3}{left (5 right )}}$$
– это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = log^{x}{left (5 right )}$$
получим
$$v – frac{1}{log^{3}{left (5 right )}} = 0$$
или
$$v – frac{1}{log^{3}{left (5 right )}} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v – 1/log5^3 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v – 1/log(5)^3)/v

v = 0 / ((v – 1/log(5)^3)/v)

делаем обратную замену
$$log^{x}{left (5 right )} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (log{left (5 right )} right )}}$$
$$x_{1} = frac{1}{log^{3}{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = frac{1}{log^{3}{left (5 right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{log^{3}{left (5 right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{log^{3}{left (5 right )}}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{1}{log^{3}{left (5 right )}}$$
подставляем в выражение
$$log^{x + 2}{left (5 right )} > frac{1}{log{left (5 right )}}$$
$$log^{- frac{1}{10} + frac{1}{log^{3}{left (5 right )}} + 2}{left (5 right )} > frac{1}{log{left (5 right )}}$$

19 1
— + ——- 1
10 3 > ——
log (5) log(5)
(log(5))

значит решение неравенства будет при:
$$x < frac{1}{log^{3}{left (5 right )}}$$

_____
——-ο——-
x1

$$-3 < x wedge x < infty$$

(-3, oo)

$$x in left(-3, inftyright)$$