(log(64*x)*1/log(4)-2)*1/((log(x)*1/log(4))^2+log(x^3)*1/log(4))>=-1

$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} geq -1$$

Дано неравенство:
$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} geq -1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} = -1$$
преобразуем
$$frac{1}{log^{2}{left (x right )} + log{left (4 right )} log{left (x^{3} right )}} left(left(log{left (64 x right )} – log{left (16 right )}right) log{left (4 right )} + log^{2}{left (x right )} + log{left (4 right )} log{left (x^{3} right )}right) = 0$$
$$1 + frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{3} right )}$$
Дано уравнение:
$$1 + frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{frac{w}{log{left (4 right )}} + left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -2 + log(64*x)/log(4)

b1 = w/log(4) + log(x)^2/log(4)^2

a2 = 1

b2 = -1

зн. получим ур-ние
$$-1 left(frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2right) = frac{w}{log{left (4 right )}} + frac{log^{2}{left (x right )}}{log^{2}{left (4 right )}}$$
$$- frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} + 2 = frac{w}{log{left (4 right )}} + frac{log^{2}{left (x right )}}{log^{2}{left (4 right )}}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

2 – log64*xlog4 = w/log(4) + log(x)^2/log(4)^2

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

2 – log64*xlog4 = w/log4 + logx^2/log4^2

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

2
-log(64*x) w log (x)
———– = -2 + ——- + ——-
1 1 2
log (4) log (4) log (4)

Разделим обе части ур-ния на -log(64*x)/(w*log(4))

w = -2 + w/log(4) + log(x)^2/log(4)^2 / (-log(64*x)/(w*log(4)))

Получим ответ: w = -log(64*x) – log(x)^2/log(4) + log(16)
делаем обратную замену
$$log{left (x^{3} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
$$x_{2} = 2^{-4 + 2 sqrt{3}}$$
$$x_{1} = 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
$$x_{2} = 2^{-4 + 2 sqrt{3}}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
$$x_{2} = 2^{-4 + 2 sqrt{3}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___
-4 – 2*/ 3 1
2 – —
10

=
$$- frac{1}{10} + 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
подставляем в выражение
$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} geq -1$$

/ / ___
| | -4 – 2*/ 3 1 ||
log|64*|2 – –||
10//
—————————- – 2
1
log (4)
———————————————————- >= -1
1
/ 2 / 3
|/ / ___ |/ ___ ||
|| | -4 – 2*/ 3 1 || || -4 – 2*/ 3 1 | ||
||log|2 – –|| log||2 – –| ||
|| 10/| 10/ /|
||———————–| + ————————–|
|| 1 | 1 |
log (4) / log (4) /

/ ___
|32 -4 – 2*/ 3 |
pi*I + log|– – 64*2 |
5 /
-2 + ———————————
log(4)
————————————————————————
2 / 3 >= -1
/ / ___ | / ___ |
| |1 -4 – 2*/ 3 || | | 1 -4 – 2*/ 3 | |
|pi*I + log|– – 2 || pi*I + log|-|- — + 2 | |
10 // 10 / /
——————————— + ————————————
2 log(4)
log (4)

Тогда
$$x leq 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 2^{-4 – 2 sqrt{3}} wedge x leq 2^{-4 + 2 sqrt{3}}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

/ / ___ / ___
| | -4 – 2*/ 3 | | -4 + 2*/ 3 | |
OrAndx <= 2 , -oo < x/, Andx <= 2 , 1/64 < x/, And(1 < x, x < oo)/

$$left(x leq 2^{-4 – 2 sqrt{3}} wedge -infty < xright) vee left(x leq 2^{-4 + 2 sqrt{3}} wedge frac{1}{64} < xright) vee left(1 < x wedge x < inftyright)$$

___ ___
-4 – 2*/ 3 -4 + 2*/ 3
(-oo, 2 ] U (1/64, 2 ] U (1, oo)

$$x in left(-infty, 2^{-4 – 2 sqrt{3}}right] cup left(frac{1}{64}, 2^{-4 + 2 sqrt{3}}right] cup left(1, inftyright)$$