Дано

$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} geq -1$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} geq -1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} = -1$$
преобразуем
$$frac{1}{log^{2}{left (x right )} + log{left (4 right )} log{left (x^{3} right )}} left(left(log{left (64 x right )} – log{left (16 right )}right) log{left (4 right )} + log^{2}{left (x right )} + log{left (4 right )} log{left (x^{3} right )}right) = 0$$
$$1 + frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{3} right )}$$
Дано уравнение:
$$1 + frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{frac{w}{log{left (4 right )}} + left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -2 + log(64*x)/log(4)

b1 = w/log(4) + log(x)^2/log(4)^2

a2 = 1

b2 = -1

зн. получим ур-ние
$$-1 left(frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2right) = frac{w}{log{left (4 right )}} + frac{log^{2}{left (x right )}}{log^{2}{left (4 right )}}$$
$$- frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} + 2 = frac{w}{log{left (4 right )}} + frac{log^{2}{left (x right )}}{log^{2}{left (4 right )}}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

2 – log64*xlog4 = w/log(4) + log(x)^2/log(4)^2

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

2 – log64*xlog4 = w/log4 + logx^2/log4^2

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

2
-log(64*x) w log (x)
———– = -2 + ——- + ——-
1 1 2
log (4) log (4) log (4)

Разделим обе части ур-ния на -log(64*x)/(w*log(4))

w = -2 + w/log(4) + log(x)^2/log(4)^2 / (-log(64*x)/(w*log(4)))

Получим ответ: w = -log(64*x) – log(x)^2/log(4) + log(16)
делаем обратную замену
$$log{left (x^{3} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
$$x_{2} = 2^{-4 + 2 sqrt{3}}$$
$$x_{1} = 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
$$x_{2} = 2^{-4 + 2 sqrt{3}}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
$$x_{2} = 2^{-4 + 2 sqrt{3}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___
-4 – 2*/ 3 1
2 – —
10

=
$$- frac{1}{10} + 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
подставляем в выражение
$$frac{frac{log{left (64 x right )}}{log{left (4 right )}} – 2}{left(frac{log{left (x right )}}{log{left (4 right )}}right)^{2} + frac{log{left (x^{3} right )}}{log{left (4 right )}}} geq -1$$

/ / ___
| | -4 – 2*/ 3 1 ||
log|64*|2 – –||
10//
—————————- – 2
1
log (4)
———————————————————- >= -1
1
/ 2 / 3
|/ / ___ |/ ___ ||
|| | -4 – 2*/ 3 1 || || -4 – 2*/ 3 1 | ||
||log|2 – –|| log||2 – –| ||
|| 10/| 10/ /|
||———————–| + ————————–|
|| 1 | 1 |
log (4) / log (4) /

/ ___
|32 -4 – 2*/ 3 |
pi*I + log|– – 64*2 |
5 /
-2 + ———————————
log(4)
————————————————————————
2 / 3 >= -1
/ / ___ | / ___ |
| |1 -4 – 2*/ 3 || | | 1 -4 – 2*/ 3 | |
|pi*I + log|– – 2 || pi*I + log|-|- — + 2 | |
10 // 10 / /
——————————— + ————————————
2 log(4)
log (4)

Тогда
$$x leq 2^{-4 – 2 sqrt{3}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 2^{-4 – 2 sqrt{3}} wedge x leq 2^{-4 + 2 sqrt{3}}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Ответ
Читайте также  2^(2*x-1)-7*2^(x-1)+5

/ / ___ / ___
| | -4 – 2*/ 3 | | -4 + 2*/ 3 | |
OrAndx <= 2 , -oo < x/, Andx <= 2 , 1/64 < x/, And(1 < x, x < oo)/

$$left(x leq 2^{-4 – 2 sqrt{3}} wedge -infty < xright) vee left(x leq 2^{-4 + 2 sqrt{3}} wedge frac{1}{64} < xright) vee left(1 < x wedge x < inftyright)$$
Ответ №2

___ ___
-4 – 2*/ 3 -4 + 2*/ 3
(-oo, 2 ] U (1/64, 2 ] U (1, oo)

$$x in left(-infty, 2^{-4 – 2 sqrt{3}}right] cup left(frac{1}{64}, 2^{-4 + 2 sqrt{3}}right] cup left(1, inftyright)$$
   
5.0
Iri5
Опыт выполнения студенческих работ с 2005 года. Юриспруденциия (контрольные, рефераты, курсовые, дипломные работы, отчеты по практике, задачи по всем отраслям права). Психология (рефераты, контрольные, эссе, курсовые).

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.