log(6*x)*1/log(5)>log(8+4*x)*1/log(5)

$$frac{log{left (6 x right )}}{log{left (5 right )}} > frac{log{left (4 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (6 x right )}}{log{left (5 right )}} > frac{log{left (4 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (6 x right )}}{log{left (5 right )}} = frac{log{left (4 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (6 x right )}}{log{left (5 right )}} = frac{log{left (4 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (5 right )}} left(log{left (6 x right )} – log{left (4 x + 8 right )}right) = 0$$
$$frac{log{left (6 x right )}}{log{left (5 right )}} – frac{log{left (4 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (5 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w} log{left (6 x right )} – frac{1}{w} log{left (4 x + 8 right )} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(6*x)

b1 = w

a2 = log(8 + 4*x)

b2 = w

зн. получим ур-ние
$$w log{left (6 x right )} = w log{left (4 x + 8 right )}$$
$$w log{left (6 x right )} = w log{left (4 x + 8 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w*log6*x = w*log(8 + 4*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w*log6*x = w*log8+4*x

Разделим обе части ур-ния на log(6*x)

w = w*log(8 + 4*x) / (log(6*x))

Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$log{left (5 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{39}{10}$$
=
$$frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (6 x right )}}{log{left (5 right )}} > frac{log{left (4 x + 8 right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$frac{log{left (frac{234}{10} 1 right )}}{log{left (5 right )}} > frac{log{left (8 + frac{156}{10} 1 right )}}{log{left (5 right )}}$$

-log(5) + log(117) -log(5) + log(118)
—————— > ——————
log(5) log(5)

Тогда
$$x < 4$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 4$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$4 < x wedge x < infty$$

(4, oo)

$$x in left(4, inftyright)$$