log(8)*1/log(4-2*x)>2

$$frac{log{left (8 right )}}{log{left (- 2 x + 4 right )}} > 2$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (8 right )}}{log{left (- 2 x + 4 right )}} > 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (8 right )}}{log{left (- 2 x + 4 right )}} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (8 right )}}{log{left (- 2 x + 4 right )}} = 2$$
преобразуем
$$frac{- 2 log{left (- x + 2 right )} + log{left (2 right )}}{log{left (- x + 2 right )} + log{left (2 right )}} = 0$$
$$-2 + frac{log{left (8 right )}}{log{left (- 2 x + 4 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- 2 x + 4 right )}$$
Дано уравнение:
$$-2 + frac{log{left (8 right )}}{log{left (- 2 x + 4 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(8)

b1 = log(4 – 2*x)

a2 = 1

b2 = 1/2

зн. получим ур-ние
$$frac{1}{2} log{left (8 right )} = log{left (- 2 x + 4 right )}$$
$$frac{1}{2} log{left (8 right )} = log{left (- 2 x + 4 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log8/2 = log(4 – 2*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log8/2 = log4+2*x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (- 2 x + 4 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (- 2 x + 4 right )} = w$$
$$log{left (- 2 x + 4 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
-2*x + 4 = e

упрощаем
$$- 2 x + 4 = e^{w}$$
$$- 2 x = e^{w} – 4$$
$$x = – frac{e^{w}}{2} + 2$$
подставляем w:
$$x_{1} = – sqrt{2} + 2$$
$$x_{1} = – sqrt{2} + 2$$
Данные корни
$$x_{1} = – sqrt{2} + 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___ 1
2 – / 2 – —
10

=
$$- sqrt{2} + frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (8 right )}}{log{left (- 2 x + 4 right )}} > 2$$

log(8)
—————————- > 2
1/ / ___ 1
log |4 – 2*|2 – / 2 – –||
10//

log(8)
—————-
/1 ___ > 2
log|- + 2*/ 2 |
5 /

Тогда
$$x < - sqrt{2} + 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > – sqrt{2} + 2$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$x < frac{3}{2} wedge - sqrt{2} + 2 < x$$

___
(2 – / 2 , 3/2)

$$x in left(- sqrt{2} + 2, frac{3}{2}right)$$