log(81)*1/log(x)/2+log(9)*1/log(x)>3

$$frac{1}{2} log{left (81 right )} frac{1}{log{left (x right )}} + frac{log{left (9 right )}}{log{left (x right )}} > 3$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{2} log{left (81 right )} frac{1}{log{left (x right )}} + frac{log{left (9 right )}}{log{left (x right )}} > 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{2} log{left (81 right )} frac{1}{log{left (x right )}} + frac{log{left (9 right )}}{log{left (x right )}} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{2} log{left (81 right )} frac{1}{log{left (x right )}} + frac{log{left (9 right )}}{log{left (x right )}} = 3$$
преобразуем
$$-3 + frac{log{left (81 right )}}{log{left (x right )}} = 0$$
$$frac{1}{2} log{left (81 right )} frac{1}{log{left (x right )}} + frac{log{left (9 right )}}{log{left (x right )}} – 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$-3 + frac{1}{w} log{left (9 right )} + frac{log{left (81 right )}}{2 w} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 1

b1 = -1/3

a2 = 1

b2 = w/(-log(9) – log(81)/2)

зн. получим ур-ние
$$frac{w}{- log{left (9 right )} – frac{1}{2} log{left (81 right )}} = – frac{1}{3}$$
$$frac{w}{- log{left (9 right )} – frac{1}{2} log{left (81 right )}} = – frac{1}{3}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w-/log+/9 – log81/2) = -1/3

Разделим обе части ур-ния на 1/(-log(9) – log(81)/2)

w = -1/3 / (1/(-log(9) – log(81)/2))

Получим ответ: w = 4*log(3)/3
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = 3 sqrt[3]{3}$$
$$x_{1} = 3 sqrt[3]{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = 3 sqrt[3]{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + 3 sqrt[3]{3}$$
=
$$- frac{1}{10} + 3 sqrt[3]{3}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{2} log{left (81 right )} frac{1}{log{left (x right )}} + frac{log{left (9 right )}}{log{left (x right )}} > 3$$
$$frac{1}{2} log{left (81 right )} frac{1}{log{left (- frac{1}{10} + 3 sqrt[3]{3} right )}} + frac{log{left (9 right )}}{log{left (- frac{1}{10} + 3 sqrt[3]{3} right )}} > 3$$

log(9) log(81)
——————- + ———————
/ 1 3 ___ / 1 3 ___ > 3
log|- — + 3*/ 3 | 2*log|- — + 3*/ 3 |
10 / 10 /

значит решение неравенства будет при:
$$x < 3 sqrt[3]{3}$$

_____
——-ο——-
x1

$$1 < x wedge x < 3 sqrt[3]{3}$$

3 ___
(1, 3*/ 3 )

$$x in left(1, 3 sqrt[3]{3}right)$$