log(9-3*x)*1/log(1/4)-log(6+x)*1/log(1/4)>=0

$$- frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} + frac{log{left (- 3 x + 9 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} geq 0$$

Дано неравенство:
$$- frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} + frac{log{left (- 3 x + 9 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} + frac{log{left (- 3 x + 9 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} + frac{log{left (- 3 x + 9 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} = 0$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (4 right )}} left(- log{left (- 3 x + 9 right )} + log{left (x + 6 right )}right) = 0$$
$$- frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} + frac{log{left (- 3 x + 9 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (4 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} + frac{log{left (- 3 x + 9 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(6 + x)

b1 = log(4)

a2 = log(9 – 3*x)

b2 = log(4)

зн. получим ур-ние
$$log{left (4 right )} log{left (x + 6 right )} = log{left (4 right )} log{left (- 3 x + 9 right )}$$
$$log{left (4 right )} log{left (x + 6 right )} = log{left (4 right )} log{left (- 3 x + 9 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log4log6+x = log(4)*log(9 – 3*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log4log6+x = log4log9+3*x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (4 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{3}{4}$$
$$x_{1} = frac{3}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{3}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{13}{20}$$
=
$$frac{13}{20}$$
подставляем в выражение
$$- frac{log{left (x + 6 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} + frac{log{left (- 3 x + 9 right )}}{log{left (frac{1}{4} right )}} geq 0$$

/ 3*13 / 13
log|9 – —-| log|6 + –|
20 / 20/
————- – ———– >= 0
1 1
log (1/4) log (1/4)

-log(20) + log(133) -log(20) + log(141)
——————- – ——————- >= 0
log(4) log(4)

но

-log(20) + log(133) -log(20) + log(141)
——————- – ——————- < 0 log(4) log(4)

Тогда
$$x leq frac{3}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq frac{3}{4}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$frac{3}{4} leq x wedge x < infty$$

[3/4, oo)

$$x in left[frac{3}{4}, inftyright)$$