log(9*x^2+8*x+8)*1/log(3*x+5)>2

$$frac{log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )}}{log{left (3 x + 5 right )}} > 2$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )}}{log{left (3 x + 5 right )}} > 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )}}{log{left (3 x + 5 right )}} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )}}{log{left (3 x + 5 right )}} = 2$$
преобразуем
$$-2 + frac{log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )}}{log{left (3 x + 5 right )}} = 0$$
$$-2 + frac{log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )}}{log{left (3 x + 5 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (3 x + 5 right )}$$
Дано уравнение:
$$-2 + frac{log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )}}{log{left (3 x + 5 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(8 + 8*x + 9*x^2)

b1 = log(5 + 3*x)

a2 = 1

b2 = 1/2

зн. получим ур-ние
$$frac{1}{2} log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )} = log{left (3 x + 5 right )}$$
$$frac{1}{2} log{left (9 x^{2} + 8 x + 8 right )} = log{left (3 x + 5 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log8/2+8*x/2+9*x/2+2/2 = log(5 + 3*x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log8/2+8*x/2+9*x/2+2/2 = log5+3*x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(8 + 8*x + 9*x^2)/2 = log5+3*x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (3 x + 5 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (3 x + 5 right )} = w$$
$$log{left (3 x + 5 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
3*x + 5 = e

упрощаем
$$3 x + 5 = e^{w}$$
$$3 x = e^{w} – 5$$
$$x = frac{e^{w}}{3} – frac{5}{3}$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2049703245820 + 28312908578.5 i$$
$$x_{2} = 1907580518760 + 26988572355.4 i$$
$$x_{3} = 3052830278370 + 36925097141.9 i$$
$$x_{4} = 2866923395010 + 35410426262.8 i$$
$$x_{5} = 3246605296480 + 38471490481.8 i$$
$$x_{6} = 2688721567730 + 33927477835.6 i$$
$$x_{7} = 2518061717850 + 32476251855.9 i$$
$$x_{8} = 2354780766680 + 31056748323.9 i$$
$$x_{9} = 2198715635560 + 29668967233.7 i$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$frac{log{left (9 cdot 0^{2} + 0 cdot 8 + 8 right )}}{log{left (0 cdot 3 + 5 right )}} > 2$$

log(8)
—— > 2
log(5)

зн. неравенство не имеет решений