log((x-4)^2*(x-3)*1/48)^2*1/(log(5)^2)>log(x-1)^2*1/log(5)

$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} log^{2}{left (frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) right )} > frac{log^{2}{left (x – 1 right )}}{log{left (5 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} log^{2}{left (frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) right )} > frac{log^{2}{left (x – 1 right )}}{log{left (5 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} log^{2}{left (frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) right )} = frac{log^{2}{left (x – 1 right )}}{log{left (5 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} log^{2}{left (frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) right )} = frac{log^{2}{left (x – 1 right )}}{log{left (5 right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} left(- log{left (5 right )} log^{2}{left (x – 1 right )} + log^{2}{left (frac{x^{3}}{48} – frac{11 x^{2}}{48} + frac{5 x}{6} – 1 right )}right) = 0$$
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} left(- log{left (5 right )} log^{2}{left (x – 1 right )} + log^{2}{left (frac{x^{3}}{48} – frac{11 x^{2}}{48} + frac{5 x}{6} – 1 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (frac{x^{3}}{48} – frac{11 x^{2}}{48} + frac{5 x}{6} – 1 right )}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} left(w^{2} – log{left (5 right )} log^{2}{left (x – 1 right )}right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$frac{w^{2}}{log^{2}{left (5 right )}} – frac{log^{2}{left (x – 1 right )}}{log{left (5 right )}} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{1}{log^{2}{left (5 right )}}$$
$$b = 0$$
$$c = – frac{log^{2}{left (x – 1 right )}}{log{left (5 right )}}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (log(5)^(-2)) * (-log(-1 + x)^2/log(5)) = 4*log(-1 + x)^2/log(5)^3

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = sqrt{log^{2}{left (x – 1 right )}} sqrt{log{left (5 right )}}$$
$$w_{2} = – sqrt{log^{2}{left (x – 1 right )}} sqrt{log{left (5 right )}}$$
делаем обратную замену
$$log{left (frac{x^{3}}{48} – frac{11 x^{2}}{48} + frac{5 x}{6} – 1 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 14.6536518356$$
$$x_{2} = 3.21984298648 – 2.15927692115 i$$
$$x_{3} = 0.730522455648 – 0.547598566403 i$$
$$x_{4} = 0.730522455648 + 0.547598566403 i$$
$$x_{5} = 5.62087822233$$
$$x_{6} = 3.21984298648 + 2.15927692115 i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 14.6536518356$$
$$x_{2} = 5.62087822233$$
Данные корни
$$x_{2} = 5.62087822233$$
$$x_{1} = 14.6536518356$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$5.52087822233$$
=
$$5.52087822233$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} log^{2}{left (frac{1}{48} left(x – 4right)^{2} left(x – 3right) right )} > frac{log^{2}{left (x – 1 right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$frac{1}{log^{2}{left (5 right )}} log^{2}{left (frac{1}{48} left(-4 + 5.52087822233right)^{2} left(-3 + 5.52087822233right) right )} > frac{log^{2}{left (-1 + 5.52087822233 right )}}{log{left (5 right )}}$$

4.4437389500759
————— 2.27619461501098
2 > —————-
log (5) log(5)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 5.62087822233$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 5.62087822233$$
$$x > 14.6536518356$$

$$-infty < x wedge x < infty$$

(-oo, oo)

$$x in left(-infty, inftyright)$$