log(x+5)^2

$$log^{2}{left (x + 5 right )} < 6$$

Дано неравенство:
$$log^{2}{left (x + 5 right )} < 6$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log^{2}{left (x + 5 right )} = 6$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log^{2}{left (x + 5 right )} = 6$$
преобразуем
$$log^{2}{left (x + 5 right )} – 6 = 0$$
$$log^{2}{left (x + 5 right )} – 6 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x + 5 right )}$$
Дано уравнение
$$log^{2}{left (x + 5 right )} – 6 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 2 – содержит чётное число 2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt{left(0 w + log{left (x + 5 right )}right)^{2}} = sqrt{6}$$
$$sqrt{left(0 w + log{left (x + 5 right )}right)^{2}} = -1 sqrt{6}$$
или
$$log{left (x + 5 right )} = sqrt{6}$$
$$log{left (x + 5 right )} = – sqrt{6}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log5+x = sqrt(6)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log5+x = sqrt6

Данное ур-ние не имеет решений
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log5+x = -sqrt(6)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log5+x = -sqrt6

Данное ур-ние не имеет решений
или

делаем обратную замену
$$log{left (x + 5 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x + 5 right )} = w$$
$$log{left (x + 5 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x + 5 = e

упрощаем
$$x + 5 = e^{w}$$
$$x = e^{w} – 5$$
подставляем w:
$$x_{1} = -5 + e^{- sqrt{6}}$$
$$x_{2} = -5 + e^{sqrt{6}}$$
$$x_{1} = -5 + e^{- sqrt{6}}$$
$$x_{2} = -5 + e^{sqrt{6}}$$
Данные корни
$$x_{1} = -5 + e^{- sqrt{6}}$$
$$x_{2} = -5 + e^{sqrt{6}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___
-/ 6 1
-5 + e – —
10

=
$$- frac{51}{10} + e^{- sqrt{6}}$$
подставляем в выражение
$$log^{2}{left (x + 5 right )} < 6$$

/ ___
2| -/ 6 1 |
log |-5 + e – — + 5| < 6 10 /

2
/ / ___
| |1 -/ 6 || < 6 |pi*I + log|-- - e || 10 //

Тогда
$$x < -5 + e^{- sqrt{6}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -5 + e^{- sqrt{6}} wedge x < -5 + e^{sqrt{6}}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

/ ___ ___
| / 6 -/ 6 |
Andx < -5 + e , -5 + e < x/

$$x < -5 + e^{sqrt{6}} wedge -5 + e^{- sqrt{6}} < x$$

___ ___
-/ 6 / 6
(-5 + e , -5 + e )

$$x in left(-5 + e^{- sqrt{6}}, -5 + e^{sqrt{6}}right)$$