log(x+6)^1>5*log(x)^2

$$log^{1}{left (x + 6 right )} > 5 log^{2}{left (x right )}$$

Дано неравенство:
$$log^{1}{left (x + 6 right )} > 5 log^{2}{left (x right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log^{1}{left (x + 6 right )} = 5 log^{2}{left (x right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log^{1}{left (x + 6 right )} = 5 log^{2}{left (x right )}$$
преобразуем
$$- 5 log^{2}{left (x right )} + log{left (x + 6 right )} = 0$$
$$- 5 log^{2}{left (x right )} + log{left (x + 6 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -5$$
$$b = 0$$
$$c = log{left (x + 6 right )}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (-5) * (log(6 + x)) = 20*log(6 + x)

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = – frac{sqrt{5}}{5} sqrt{log{left (x + 6 right )}}$$
$$w_{2} = frac{sqrt{5}}{5} sqrt{log{left (x + 6 right )}}$$
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:

False

$$x_{2} = 1.90214614172$$
$$x_{3} = 0.541779452575$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 1.90214614172$$
$$x_{2} = 0.541779452575$$
Данные корни
$$x_{2} = 0.541779452575$$
$$x_{1} = 1.90214614172$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$0.441779452575$$
=
$$0.441779452575$$
подставляем в выражение
$$log^{1}{left (x + 6 right )} > 5 log^{2}{left (x right )}$$
$$log^{1}{left (0.441779452575 + 6 right )} > 5 log^{2}{left (0.441779452575 right )}$$

1.86280481446064 > 3.33699156005188

Тогда
$$x < 0.541779452575$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 0.541779452575 wedge x < 1.90214614172$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1