log(x)*1/log(7)>=1/2

$$frac{log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} geq frac{1}{2}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} geq frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} = frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} = frac{1}{2}$$
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} = frac{1}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при log =1/log(7)
$$log{left (x right )} = frac{1}{2} log{left (7 right )}$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$x = e^{frac{1}{2 frac{1}{log{left (7 right )}}}}$$
упрощаем
$$x = sqrt{7}$$
$$x_{1} = sqrt{7}$$
$$x_{1} = sqrt{7}$$
Данные корни
$$x_{1} = sqrt{7}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + sqrt{7}$$
=
$$- frac{1}{10} + sqrt{7}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} geq frac{1}{2}$$
$$frac{log{left (- frac{1}{10} + sqrt{7} right )}}{log{left (7 right )}} geq frac{1}{2}$$

/ 1 ___
log|- — + / 7 |
10 / >= 1/2
—————–
log(7)

но

/ 1 ___
log|- — + / 7 |
10 / < 1/2 ----------------- log(7)

Тогда
$$x leq sqrt{7}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq sqrt{7}$$

_____
/
——-•——-
x1

$$sqrt{7} leq x wedge x < infty$$

___
[/ 7 , oo)

$$x in left[sqrt{7}, inftyright)$$