log(x^2+2*x+56)*1/log(x+5)*1/(log(x^2+2*x-2)*1/log(x+5))>=log(x^4+4*x^3+4*x^2)*1/log(2)*1/(log(x^2+2*x-2)*1/log(2))

$$frac{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )}}{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} geq frac{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (4 x^{2} + x^{4} + 4 x^{3} right )}}{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )}}{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} geq frac{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (4 x^{2} + x^{4} + 4 x^{3} right )}}{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )}}{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} = frac{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (4 x^{2} + x^{4} + 4 x^{3} right )}}{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )}}{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} = frac{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (4 x^{2} + x^{4} + 4 x^{3} right )}}{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}}$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} left(- log{left (x^{2} left(x^{2} + 4 x + 4right) right )} + log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )}right) = 0$$
$$- frac{log{left (2 right )}}{log{left (2 right )}} log{left (4 x^{2} + x^{4} + 4 x^{3} right )} frac{1}{log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} + frac{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )}}{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{log{left (2 right )}}{log{left (2 right )}} log{left (4 x^{2} + x^{4} + 4 x^{3} right )} frac{1}{log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} + frac{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )}}{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(56 + x^2 + 2*x)

b1 = log(-2 + x^2 + 2*x)

a2 = log(x^4 + 4*x^2 + 4*x^3)

b2 = log(-2 + x^2 + 2*x)

зн. получим ур-ние
$$log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )} = log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )} log{left (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} right )}$$
$$log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )} = log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )} log{left (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log-2+x+2+2*xlog56+x+2+2*x = log(-2 + x^2 + 2*x)*log(x^4 + 4*x^2 + 4*x^3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log-2+x+2+2*xlog56+x+2+2*x = log-2+x+2+2*xlogx+4+4*x+2+4*x+3

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(-2 + x^2 + 2*x)*log(56 + x^2 + 2*x) = log-2+x+2+2*xlogx+4+4*x+2+4*x+3

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(-2 + x^2 + 2*x)*log(56 + x^2 + 2*x) = log(-2 + x^2 + 2*x)*log(x^4 + 4*x^2 + 4*x^3)

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )} + 2 = log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )} log{left (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} right )} + 2$$
Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -1 – sqrt{6} i$$
$$x_{4} = -1 + sqrt{6} i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x + 56 right )}}{frac{1}{log{left (x + 5 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}} geq frac{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (4 x^{2} + x^{4} + 4 x^{3} right )}}{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (x^{2} + 2 x – 2 right )}}$$
$$frac{frac{1}{log{left (- frac{41}{10} + 5 right )}} log{left (frac{-82}{10} 1 + left(- frac{41}{10}right)^{2} + 56 right )}}{frac{1}{log{left (- frac{41}{10} + 5 right )}} log{left (-2 + frac{-82}{10} 1 + left(- frac{41}{10}right)^{2} right )}} geq frac{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (4 left(- frac{41}{10}right)^{3} + left(- frac{41}{10}right)^{4} + 4 left(- frac{41}{10}right)^{2} right )}}{frac{1}{log{left (2 right )}} log{left (-2 + frac{-82}{10} 1 + left(- frac{41}{10}right)^{2} right )}}$$

-log(100) + log(6461) -log(10000) + log(741321)
——————— >= ————————-
-log(100) + log(661) -log(100) + log(661)

но

-log(100) + log(6461) -log(10000) + log(741321)
——————— < ------------------------- -log(100) + log(661) -log(100) + log(661)

Тогда
$$x leq -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -4 wedge x leq 2$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$left(-4 leq x wedge x < -3right) vee left(x leq 2 wedge 1 < xright)$$

[-4, -3) U (1, 2]

$$x in left[-4, -3right) cup left(1, 2right]$$