log(x^2+6)*1/log(3)-log(5*x)*1/log(3)

$$- frac{log{left (5 x right )}}{log{left (3 right )}} + frac{log{left (x^{2} + 6 right )}}{log{left (3 right )}} < 0$$

Дано неравенство:
$$- frac{log{left (5 x right )}}{log{left (3 right )}} + frac{log{left (x^{2} + 6 right )}}{log{left (3 right )}} < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- frac{log{left (5 x right )}}{log{left (3 right )}} + frac{log{left (x^{2} + 6 right )}}{log{left (3 right )}} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- frac{log{left (5 x right )}}{log{left (3 right )}} + frac{log{left (x^{2} + 6 right )}}{log{left (3 right )}} = 0$$
преобразуем
$$frac{1}{log{left (3 right )}} left(- log{left (x right )} + log{left (x^{2} + 6 right )} – log{left (5 right )}right) = 0$$
$$- frac{1}{log{left (3 right )}} left(log{left (x right )} + log{left (5 right )}right) + frac{log{left (x^{2} + 6 right )}}{log{left (3 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (3 right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{1}{w} left(log{left (x right )} + log{left (5 right )}right) + frac{1}{w} log{left (x^{2} + 6 right )} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(6 + x^2)

b1 = w

a2 = log(5) + log(x)

b2 = w

зн. получим ур-ние
$$w log{left (x^{2} + 6 right )} = w left(log{left (x right )} + log{left (5 right )}right)$$
$$w log{left (x^{2} + 6 right )} = w left(log{left (x right )} + log{left (5 right )}right)$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w*log6+x+2 = w*(log(5) + log(x))

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w*log6+x+2 = wlog+5 + logx)

Разделим обе части ур-ния на log(6 + x^2)

w = w*(log(5) + log(x)) / (log(6 + x^2))

Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$log{left (3 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{19}{10}$$
=
$$frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$- frac{log{left (5 x right )}}{log{left (3 right )}} + frac{log{left (x^{2} + 6 right )}}{log{left (3 right )}} < 0$$

/ 2
|/19 | /5*19
log||–| + 6| log|—-|
10/ / 10 /
————– – ——— < 0 1 1 log (3) log (3)

-log(100) + log(961) -log(2) + log(19)
——————– – —————– < 0 log(3) log(3)

но

-log(100) + log(961) -log(2) + log(19)
——————– – —————– > 0
log(3) log(3)

Тогда
$$x < 2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 wedge x < 3$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

$$2 < x wedge x < 3$$

(2, 3)

$$x in left(2, 3right)$$