log(x^2-6*x+8)*1/log(1/3)>=-1

$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} right )}} log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} geq -1$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} right )}} log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} geq -1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} right )}} log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} right )}} log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} = -1$$
преобразуем
$$- frac{1}{log{left (3 right )}} log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} + 1 = 0$$
$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} right )}} log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (3 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} right )}} log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} + 1 = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -log(8 + x^2 – 6*x)

b1 = log(3)

a2 = 1

b2 = -1

зн. получим ур-ние
$$-1 left(- log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )}right) = log{left (3 right )}$$
$$log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} = log{left (3 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log8+x+2+6*x = log(3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log8+x+2+6*x = log3

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(8 + x^2 – 6*x) = log3

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (3 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{log{left (frac{1}{3} right )}} log{left (x^{2} – 6 x + 8 right )} geq -1$$

/ 2 6*9
log|9/10 – — + 8|
10 /
——————– >= -1
1
log (1/3)

-(-log(100) + log(341))
———————— >= -1
log(3)

но

-(-log(100) + log(341))
———————— < -1 log(3)

Тогда
$$x leq 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 1 wedge x leq 5$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$x = 1 vee x = 5$$

{1, 5}

$$x in left{1, 5right}$$