log(x^2)*1/log(7)/2-log(1/7)*1/log(x+2)

$$frac{1}{2} frac{1}{log{left (7 right )}} log{left (x^{2} right )} – frac{log{left (frac{1}{7} right )}}{log{left (x + 2 right )}} leq 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} + frac{2 log{left (49 right )}}{log{left (x + 10 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{1}{2} frac{1}{log{left (7 right )}} log{left (x^{2} right )} – frac{log{left (frac{1}{7} right )}}{log{left (x + 2 right )}} leq 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} + frac{2 log{left (49 right )}}{log{left (x + 10 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{1}{2} frac{1}{log{left (7 right )}} log{left (x^{2} right )} – frac{log{left (frac{1}{7} right )}}{log{left (x + 2 right )}} = 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} + frac{2 log{left (49 right )}}{log{left (x + 10 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{1}{2} frac{1}{log{left (7 right )}} log{left (x^{2} right )} – frac{log{left (frac{1}{7} right )}}{log{left (x + 2 right )}} = 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} + frac{2 log{left (49 right )}}{log{left (x + 10 right )}}$$
преобразуем
$$frac{log{left (x^{2} right )}}{2 log{left (7 right )}} – frac{log{left (2401 right )}}{2 log{left (7 right )}} log{left (- x + frac{71}{10} right )} – frac{4 log{left (7 right )}}{log{left (x + 10 right )}} + frac{log{left (7 right )}}{log{left (x + 2 right )}} = 0$$
$$- 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} – frac{2 log{left (49 right )}}{log{left (x + 10 right )}} + frac{1}{2} frac{1}{log{left (7 right )}} log{left (x^{2} right )} – frac{log{left (frac{1}{7} right )}}{log{left (x + 2 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x + 10 right )}$$
Дано уравнение:
$$- 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} – frac{2 log{left (49 right )}}{log{left (x + 10 right )}} + frac{1}{2} frac{1}{log{left (7 right )}} log{left (x^{2} right )} – frac{log{left (frac{1}{7} right )}}{log{left (x + 2 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -2*log(49)

b1 = log(10 + x)

a2 = 1

b2 = 1/(2*log(71/10 – x) – log(7)/log(2 + x) – log(x^2)/(2*log(7)))

зн. получим ур-ние
$$frac{-1 cdot 2 log{left (49 right )}}{- frac{log{left (x^{2} right )}}{2 log{left (7 right )}} + 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} – frac{log{left (7 right )}}{log{left (x + 2 right )}}} = log{left (x + 10 right )}$$
$$- frac{2 log{left (49 right )}}{- frac{log{left (x^{2} right )}}{2 log{left (7 right )}} + 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} – frac{log{left (7 right )}}{log{left (x + 2 right )}}} = log{left (x + 10 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-2*log492*log+71/10+x – log7log2+x – logx+22*log+7)) = log(10 + x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-2*log492*log+71/10+x – log7log2+x – logx+22*log+7)) = log10+x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-2*log(49)/(2*log(71/10 – x) – log(7)/log(2 + x) – log(x^2)/(2*log(7))) = log10+x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x + 10 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x + 10 right )} = w$$
$$log{left (x + 10 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x + 10 = e

упрощаем
$$x + 10 = e^{w}$$
$$x = e^{w} – 10$$
подставляем w:
$$x_{1} = -0.715709057847$$
$$x_{2} = -0.715709057847 + 8.30748817813 cdot 10^{-16} i$$

False

$$x_{4} = 6.46506482548$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = -0.715709057847$$
$$x_{2} = 6.46506482548$$
Данные корни
$$x_{1} = -0.715709057847$$
$$x_{2} = 6.46506482548$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$-0.815709057847$$
=
$$-0.815709057847$$
подставляем в выражение
$$frac{1}{2} frac{1}{log{left (7 right )}} log{left (x^{2} right )} – frac{log{left (frac{1}{7} right )}}{log{left (x + 2 right )}} leq 2 log{left (- x + frac{71}{10} right )} + frac{2 log{left (49 right )}}{log{left (x + 10 right )}}$$

/ / 2
|log -0.815709057847 /|
|———————|
| 1 |
log (7) / log(1/7) /71 2*log(49)
———————– – ————————- <= 2*log|-- - -0.815709057847| + -------------------------- 1 1 10 / 1 2 log (-0.815709057847 + 2) log (-0.815709057847 + 10)

0.203697534352065
5.91211402078895*log(7) – —————– <= 4.13769854676418 + 0.901918802269726*log(49) log(7)

но

0.203697534352065
5.91211402078895*log(7) – —————– >= 4.13769854676418 + 0.901918802269726*log(49)
log(7)

Тогда
$$x leq -0.715709057847$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -0.715709057847 wedge x leq 6.46506482548$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2