sin(2*x+pi*1/4)>sin(3*pi*1/4)

$$sin{left (2 x + frac{pi}{4} right )} > sin{left (frac{3 pi}{4} right )}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (2 x + frac{pi}{4} right )} > sin{left (frac{3 pi}{4} right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (2 x + frac{pi}{4} right )} = sin{left (frac{3 pi}{4} right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin{left (2 x + frac{pi}{4} right )} = sin{left (frac{3 pi}{4} right )}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x + frac{pi}{4} = 2 pi n + {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$2 x + frac{pi}{4} = 2 pi n – {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )} + pi$$
Или
$$2 x + frac{pi}{4} = 2 pi n + frac{pi}{4}$$
$$2 x + frac{pi}{4} = 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$
, где n – любое целое число
Перенесём
$$frac{pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$2 x = 2 pi n$$
$$2 x = 2 pi n + frac{pi}{2}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = pi n$$
$$x_{2} = pi n + frac{pi}{4}$$
$$x_{1} = pi n$$
$$x_{2} = pi n + frac{pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = pi n$$
$$x_{2} = pi n + frac{pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$pi n + – frac{1}{10}$$
=
$$pi n – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sin{left (2 x + frac{pi}{4} right )} > sin{left (frac{3 pi}{4} right )}$$
$$sin{left (2 left(pi n + – frac{1}{10}right) + frac{pi}{4} right )} > sin{left (frac{3 pi}{4} right )}$$

___
/ 1 pi / 2
sin|- – + — + 2*pi*n| > —–
5 4 / 2

Тогда
$$x < pi n$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > pi n wedge x < pi n + frac{pi}{4}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

/ pi
And|0 < x, x < --| 4 /

$$0 < x wedge x < frac{pi}{4}$$

pi
(0, –)
4

$$x in left(0, frac{pi}{4}right)$$