sin(x)^6+cos(x)^6>1

$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} > 1$$

Дано неравенство:
$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} > 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} = 1$$
преобразуем
$$frac{3}{8} cos{left (4 x right )} – frac{3}{8} = 0$$
$$frac{3}{8} cos{left (4 x right )} – frac{3}{8} = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (4 x right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$frac{3 w}{8} = frac{3}{8}$$
Разделим обе части ур-ния на 3/8

w = 3/8 / (3/8)

Получим ответ: w = 1
делаем обратную замену
$$cos{left (4 x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (4 x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$4 x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$4 x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$4 x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{pi n}{4} + frac{1}{4} {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{4} + frac{1}{4} {acos}{left (1 right )}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4} + frac{1}{4} {acos}{left (w_{1} right )} – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4} – frac{pi}{4} + frac{1}{4} {acos}{left (1 right )}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{4} – frac{pi}{4}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = – frac{pi}{2}$$
$$x_{3} = frac{pi}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = – frac{pi}{2}$$
$$x_{3} = frac{pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = – frac{pi}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = frac{pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

pi 1
– — – —
2 10

=
$$- frac{pi}{2} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sin^{6}{left (x right )} + cos^{6}{left (x right )} > 1$$

6/ pi 1 6/ pi 1
sin |- — – –| + cos |- — – –| > 1
2 10/ 2 10/

6 6
cos (1/10) + sin (1/10) > 1

Тогда
$$x < - frac{pi}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{pi}{2} wedge x < 0$$

_____ _____
/ /
——-ο——-ο——-ο——-
x2 x1 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > – frac{pi}{2} wedge x < 0$$
$$x > frac{pi}{2}$$

Данное неравенство не имеет решений