sqrt(17-x)-sqrt(1+3*x)

$$sqrt{- x + 17} – sqrt{3 x + 1} leq sqrt{x + 3}$$

Дано неравенство:
$$sqrt{- x + 17} – sqrt{3 x + 1} leq sqrt{x + 3}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{- x + 17} – sqrt{3 x + 1} = sqrt{x + 3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt{- x + 17} – sqrt{3 x + 1} = sqrt{x + 3}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$left(sqrt{- x + 17} – sqrt{3 x + 1}right)^{2} = x + 3$$
или
$$left(-1right)^{2} left(x + 3right) + – 2 sqrt{left(- x + 17right) left(x + 3right)} + 1^{2} left(- x + 17right) = x + 3$$
или
$$- 2 sqrt{- x^{2} + 14 x + 51} + 20 = x + 3$$
преобразуем:
$$- 2 sqrt{- x^{2} + 14 x + 51} = x – 17$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- 4 x^{2} + 56 x + 204 = left(x – 17right)^{2}$$
$$- 4 x^{2} + 56 x + 204 = x^{2} – 34 x + 289$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 5 x^{2} + 90 x – 85 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -5$$
$$b = 90$$
$$c = -85$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(90)^2 – 4 * (-5) * (-85) = 6400

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 17$$

Т.к.
$$sqrt{- x^{2} + 14 x + 51} = – frac{x}{2} + frac{17}{2}$$
и
$$sqrt{- x^{2} + 14 x + 51} geq 0$$
то

17 x
— – – >= 0
2 2

или
$$x leq 17$$
$$-infty < x$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 17$$
проверяем:
$$x_{1} = 1$$
$$sqrt{- x_{1} + 17} – sqrt{x_{1} + 3} – sqrt{3 x_{1} + 1} = 0$$
=
$$- sqrt{1 + 3} + – sqrt{1 + 3} + sqrt{-1 + 17} = 0$$
=

0 = 0

– тождество
$$x_{2} = 17$$
$$sqrt{- x_{2} + 17} – sqrt{x_{2} + 3} – sqrt{3 x_{2} + 1} = 0$$
=
$$- sqrt{1 + 3 cdot 17} + sqrt{- 17 + 17} – sqrt{3 + 17} = 0$$
=

-2*sqrt(5) – 2*sqrt(13) = 0

– Нет
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{- x + 17} – sqrt{3 x + 1} leq sqrt{x + 3}$$

_________
___________ / 3*9 __________
/ 17 – 9/10 – / 1 + — <= / 9/10 + 3 / 10

_____ ______ _____
/ 370 / 1610 / 390
– ——- + ——– <= ------- 10 10 10

но

_____ ______ _____
/ 370 / 1610 / 390
– ——- + ——– >= ——-
10 10 10

Тогда
$$x leq 1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq 1$$

_____
/
——-•——-
x1

/ 157
And|1 <= x, x <= ---| 13/

$$1 leq x wedge x leq frac{157}{13}$$

157
[1, —]
13

$$x in left[1, frac{157}{13}right]$$