(sqrt(5))^(2*x-8)>=sqrt(5)*sqrt(625)

$$left(sqrt{5}right)^{2 x – 8} geq sqrt{5} sqrt{625}$$

Дано неравенство:
$$left(sqrt{5}right)^{2 x – 8} geq sqrt{5} sqrt{625}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(sqrt{5}right)^{2 x – 8} = sqrt{5} sqrt{625}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$left(sqrt{5}right)^{2 x – 8} = sqrt{5} sqrt{625}$$
или
$$left(sqrt{5}right)^{2 x – 8} – 25 sqrt{5} = 0$$
или
$$frac{5^{x}}{625} = 25 sqrt{5}$$
или
$$5^{x} = 15625 sqrt{5}$$
– это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v – 15625 sqrt{5} = 0$$
или
$$v – 15625 sqrt{5} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v – 15625*sqrt5 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v – 15625*sqrt(5))/v

v = 0 / ((v – 15625*sqrt(5))/v)

делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (5 right )}}$$
$$x_{1} = 15625 sqrt{5}$$
$$x_{1} = 15625 sqrt{5}$$
Данные корни
$$x_{1} = 15625 sqrt{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + 15625 sqrt{5}$$
=
$$- frac{1}{10} + 15625 sqrt{5}$$
подставляем в выражение
$$left(sqrt{5}right)^{2 x – 8} geq sqrt{5} sqrt{625}$$
$$left(sqrt{5}right)^{-8 + 2 left(- frac{1}{10} + 15625 sqrt{5}right)} geq sqrt{5} sqrt{625}$$

41 ___
– — + 15625*/ 5 ___
10 >= 25*/ 5
5

значит решение неравенства будет при:
$$x leq 15625 sqrt{5}$$

_____
——-•——-
x1

$$frac{13}{2} leq x wedge x < infty$$

[13/2, oo)

$$x in left[frac{13}{2}, inftyright)$$