(sqrt(8))^5*x+3

$$x left(sqrt{8}right)^{5} + 3 < x left(sqrt{frac{1}{16}}right)^{2} + frac{1}{x}$$

Дано неравенство:
$$x left(sqrt{8}right)^{5} + 3 < x left(sqrt{frac{1}{16}}right)^{2} + frac{1}{x}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x left(sqrt{8}right)^{5} + 3 = x left(sqrt{frac{1}{16}}right)^{2} + frac{1}{x}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x left(sqrt{8}right)^{5} + 3 = x left(sqrt{frac{1}{16}}right)^{2} + frac{1}{x}$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x left(x left(sqrt{8}right)^{5} + 3right) = x left(x left(sqrt{frac{1}{16}}right)^{2} + frac{1}{x}right)$$
$$128 sqrt{2} x^{2} + 3 x = frac{x^{2}}{16} + 1$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$128 sqrt{2} x^{2} + 3 x = frac{x^{2}}{16} + 1$$
в
$$- frac{x^{2}}{16} + 128 sqrt{2} x^{2} + 3 x – 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = – frac{1}{16} + 128 sqrt{2}$$
$$b = 3$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(3)^2 – 4 * (-1/16 + 128*sqrt(2)) * (-1) = 35/4 + 512*sqrt(2)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{-3 + sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}}}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}} – 3}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
$$x_{1} = frac{-3 + sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}}}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}} – 3}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
$$x_{1} = frac{-3 + sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}}}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}} – 3}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{- sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}} – 3}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
$$x_{1} = frac{-3 + sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}}}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

________________
/ 35 ___
-3 – / — + 512*/ 2
/ 4 1
————————- – —
1 10
/ 1 ___
|- – + 256*/ 2 |
8 /

=
$$- frac{1}{10} + frac{- sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}} – 3}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
подставляем в выражение
$$x left(sqrt{8}right)^{5} + 3 < x left(sqrt{frac{1}{16}}right)^{2} + frac{1}{x}$$

/ ________________ / ________________
| / 35 ___ | | / 35 ___ |
5 |-3 – / — + 512*/ 2 | 2 |-3 – / — + 512*/ 2 |
___ | / 4 1 | / 1 | / 4 1 | 1
/ 8 *|————————- – –| + 3 < |------| *|------------------------- - --| + ------------------------------ | 1 10| | ____| | 1 10| ________________ | / 1 ___ | / 16 / | / 1 ___ | / 35 ___ | |- - + 256*/ 2 | | | |- - + 256*/ 2 | | -3 - / -- + 512*/ 2 8 / / 8 / / / 4 1 ------------------------- - -- 1 10 / 1 ___ |- - + 256*/ 2 | 8 /

________________
/ 35 ___
/ ________________ -3 – / — + 512*/ 2
| / 35 ___ | 1 1 / 4
| -3 – / — + 512*/ 2 | – — + ——————————– + ————————-
___ | 1 / 4 | 160 ________________ / 1 ___
3 + 128*/ 2 *|- — + ————————-| < / 35 ___ 16*|- - + 256*/ 2 | | 10 1 ___ | -3 - / -- + 512*/ 2 8 / | - - + 256*/ 2 | 1 / 4 8 / - -- + ------------------------- 10 1 ___ - - + 256*/ 2 8

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{- sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}} - 3}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{- sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}} - 3}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$
$$x > frac{-3 + sqrt{frac{35}{4} + 512 sqrt{2}}}{- frac{1}{8} + 256 sqrt{2}}$$

$$left(-infty < x wedge x < - frac{8192}{8388607} sqrt{70 + 4096 sqrt{2}} - frac{49152 sqrt{2}}{8388607} - frac{4}{8388607} sqrt{35 + 2048 sqrt{2}} - frac{24}{8388607}right) vee left(0 < x wedge x < - frac{49152 sqrt{2}}{8388607} - frac{24}{8388607} + frac{4}{8388607} sqrt{35 + 2048 sqrt{2}} + frac{8192}{8388607} sqrt{70 + 4096 sqrt{2}}right)$$

_________________ _________________ _________________ _________________
___ / ___ / ___ ___ / ___ / ___
24 49152*/ 2 8192*/ 70 + 4096*/ 2 4*/ 35 + 2048*/ 2 24 49152*/ 2 4*/ 35 + 2048*/ 2 8192*/ 70 + 4096*/ 2
(-oo, – ——- – ———– – ————————- – ———————-) U (0, – ——- – ———– + ———————- + ————————-)
8388607 8388607 8388607 8388607 8388607 8388607 8388607 8388607

$$x in left(-infty, – frac{8192}{8388607} sqrt{70 + 4096 sqrt{2}} – frac{49152 sqrt{2}}{8388607} – frac{4}{8388607} sqrt{35 + 2048 sqrt{2}} – frac{24}{8388607}right) cup left(0, – frac{49152 sqrt{2}}{8388607} – frac{24}{8388607} + frac{4}{8388607} sqrt{35 + 2048 sqrt{2}} + frac{8192}{8388607} sqrt{70 + 4096 sqrt{2}}right)$$