sqrt(x^2+7)

$$sqrt{x^{2} + 7} leq 4$$

Дано неравенство:
$$sqrt{x^{2} + 7} leq 4$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{x^{2} + 7} = 4$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt{x^{2} + 7} = 4$$
$$sqrt{x^{2} + 7} = 4$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x^{2} + 7 = 16$$
$$x^{2} + 7 = 16$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$x^{2} – 9 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -9$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-9) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$

Т.к.
$$sqrt{x^{2} + 7} = 4$$
и
$$sqrt{x^{2} + 7} geq 0$$
то
$$4 geq 0$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{31}{10}$$
=
$$- frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{x^{2} + 7} leq 4$$
$$sqrt{7 + left(- frac{31}{10}right)^{2}} leq 4$$

______
/ 1661
——– <= 4 10

но

______
/ 1661
——– >= 4
10

Тогда
$$x leq -3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -3 wedge x leq 3$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

$$-3 leq x wedge x leq 3$$

[-3, 3]

$$x in left[-3, 3right]$$