(x*1/9)^log(3*x)

$$left(frac{x}{9}right)^{log{left (3 x right )}} < 1$$

Дано неравенство:
$$left(frac{x}{9}right)^{log{left (3 x right )}} < 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(frac{x}{9}right)^{log{left (3 x right )}} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$left(frac{x}{9}right)^{log{left (3 x right )}} = 1$$
преобразуем
$$-1 + 9^{- log{left (3 x right )}} x^{log{left (3 x right )}} = 0$$
$$left(frac{x}{9}right)^{log{left (3 x right )}} – 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (3 x right )}$$
$$left(frac{x}{9}right)^{w} – 1 = 0$$
или
$$left(frac{x}{9}right)^{w} – 1 = 0$$
или
$$left(frac{x}{9}right)^{w} = 1$$
или
$$left(frac{x}{9}right)^{w} = 1$$
– это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = left(frac{x}{9}right)^{w}$$
получим
$$v – 1 = 0$$
или
$$v – 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 1$$
Получим ответ: v = 1
делаем обратную замену
$$left(frac{x}{9}right)^{w} = v$$
или
$$w = frac{log{left (v right )}}{log{left (frac{x}{9} right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = frac{log{left (1 right )}}{log{left (frac{x}{9} right )}} = 0$$
делаем обратную замену
$$log{left (3 x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (3 x right )} = w$$
$$log{left (3 x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
3*x = e

упрощаем
$$3 x = e^{w}$$
$$x = frac{e^{w}}{3}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 9$$
$$x_{1} = frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 9$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 9$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{7}{30}$$
=
$$frac{7}{30}$$
подставляем в выражение
$$left(frac{x}{9}right)^{log{left (3 x right )}} < 1$$
$$left(frac{7}{9 cdot 30}right)^{log{left (frac{21}{30} 1 right )}} < 1$$

-log(10) + log(7)
7/270 < 1

но

-log(10) + log(7)
7/270 > 1

Тогда
$$x < frac{1}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > frac{1}{3} wedge x < 9$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

$$frac{1}{3} < x wedge x < 9$$

(1/3, 9)

$$x in left(frac{1}{3}, 9right)$$