(x^2-16*x+39)*1/(x^2-12*x+27)

$$frac{x^{2} – 16 x + 39}{x^{2} – 12 x + 27} leq frac{x – 18}{x – 9} + frac{4}{x – 8}$$

Дано неравенство:
$$frac{x^{2} – 16 x + 39}{x^{2} – 12 x + 27} leq frac{x – 18}{x – 9} + frac{4}{x – 8}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{x^{2} – 16 x + 39}{x^{2} – 12 x + 27} = frac{x – 18}{x – 9} + frac{4}{x – 8}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$frac{x^{2} – 16 x + 39}{x^{2} – 12 x + 27} = frac{x – 18}{x – 9} + frac{4}{x – 8}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$frac{x – 4}{left(x – 9right) left(x – 8right)} = 0$$
знаменатель
$$x – 9$$
тогда

x не равен 9

знаменатель
$$x – 8$$
тогда

x не равен 8

Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x – 4 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x – 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 4$$
Получим ответ: x1 = 4
но

x не равен 9

x не равен 8

$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{39}{10}$$
=
$$frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{x^{2} – 16 x + 39}{x^{2} – 12 x + 27} leq frac{x – 18}{x – 9} + frac{4}{x – 8}$$

2
/39 16*39 39
|–| – —– + 39 — – 18
10/ 10 10 4
——————— <= --------- + --------- 1 1 1 / 2 /39 /39 |/39 12*39 | |-- - 9| |-- - 8| ||--| - ----- + 27| 10 / 10 / 10/ 10 /

91 1247
— <= ---- 51 697

значит решение неравенства будет при:
$$x leq 4$$

_____
——-•——-
x1

$$left(x leq 4 wedge 3 < xright) vee left(-infty < x wedge x < 3right) vee left(8 < x wedge x < 9right)$$

(-oo, 3) U (3, 4] U (8, 9)

$$x in left(-infty, 3right) cup left(3, 4right] cup left(8, 9right)$$