x^2+3*|x|

$$x^{2} + 3 left|{x}right| < 10$$

Дано неравенство:
$$x^{2} + 3 left|{x}right| < 10$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + 3 left|{x}right| = 10$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение “>= 0” или “< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x geq 0$$
или
$$0 leq x wedge x < infty$$
получаем ур-ние
$$x^{2} + 3 x – 10 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} + 3 x – 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -5$$
но x1 не удовлетворяет неравенству
$$x_{2} = 2$$

2.
$$x < 0$$
или
$$-infty < x wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$x^{2} + 3 left(- xright) – 10 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} – 3 x – 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -2$$
$$x_{4} = 5$$
но x4 не удовлетворяет неравенству

$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + 3 left|{x}right| < 10$$
$$left(- frac{21}{10}right)^{2} + 3 left|{- frac{21}{10}}right| < 10$$

1071
—- < 10 100

но

1071
—- > 10
100

Тогда
$$x < -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -2 wedge x < 2$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$-2 < x wedge x < 2$$

(-2, 2)

$$x in left(-2, 2right)$$