x^2-7*x

$$x^{2} – 7 x < 0$$

Дано неравенство:
$$x^{2} – 7 x < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} – 7 x = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-7)^2 – 4 * (1) * (0) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 0$$
Данные корни
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} – 7 x < 0$$

2 7*(-1)
-1/10 – —— < 0 10

71
— < 0 100

но

71
— > 0
100

Тогда
$$x < 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 0 wedge x < 7$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$0 < x wedge x < 7$$

(0, 7)

$$x in left(0, 7right)$$