x^2+y^2

$$x^{2} + y^{2} leq 9$$

Дано неравенство:
$$x^{2} + y^{2} leq 9$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + y^{2} = 9$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + y^{2} = 9$$
в
$$x^{2} + y^{2} – 9 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = y^{2} – 9$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-9 + y^2) = 36 – 4*y^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___________
/ 2
/ 36 – 4*y 1
————– – —
2 10

=
$$frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + y^{2} leq 9$$

2
/ ___________
| / 2 |
|/ 36 – 4*y 1 | 2
|————– – –| + y <= 9 2 10/

2
/ ___________
| / 2 |
2 | 1 / 36 – 4*y | <= 9 y + |- -- + --------------| 10 2 /

Тогда
$$x leq frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36} wedge x leq – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} + 36}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2