x^3+7*x^2+(30*x^2+7*x-42)*1/(x-6)

$$x^{3} + 7 x^{2} + frac{1}{x – 6} left(30 x^{2} + 7 x – 42right) leq 7$$

Дано неравенство:
$$x^{3} + 7 x^{2} + frac{1}{x – 6} left(30 x^{2} + 7 x – 42right) leq 7$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} + 7 x^{2} + frac{1}{x – 6} left(30 x^{2} + 7 x – 42right) = 7$$
Решаем:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
=
$$- frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} + 7 x^{2} + frac{1}{x – 6} left(30 x^{2} + 7 x – 42right) leq 7$$
$$frac{1}{-6 – frac{41}{10}} left(-42 + frac{-287}{10} 1 + 30 left(- frac{41}{10}right)^{2}right) + left(- frac{41}{10}right)^{3} + 7 left(- frac{41}{10}right)^{2} leq 7$$

587649
—— <= 7 101000

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq -4$$

_____ _____
/
——-•——-•——-•——-
x1 x2 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq -4$$
$$x geq 0 wedge x leq 3$$

$$left(3 leq x wedge x < 6right) vee left(x leq -4 wedge -infty < xright) vee x = 0$$

(-oo, -4] U {0} U [3, 6)

$$x in left(-infty, -4right] cup left{0right} cup left[3, 6right)$$