(x^4-6*x^3+5*x^2+24*x-36)*1/(log(x)*1/log(2)+2^(x-2)-67)>=0

$$frac{24 x + 5 x^{2} + x^{4} – 6 x^{3} – 36}{2^{x – 2} + frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}} – 67} geq 0$$

Дано неравенство:
$$frac{24 x + 5 x^{2} + x^{4} – 6 x^{3} – 36}{2^{x – 2} + frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}} – 67} geq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{24 x + 5 x^{2} + x^{4} – 6 x^{3} – 36}{2^{x – 2} + frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}} – 67} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{24 x + 5 x^{2} + x^{4} – 6 x^{3} – 36}{2^{x – 2} + frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}} – 67} = 0$$
преобразуем
$$frac{left(x^{4} – 6 x^{3} + 5 x^{2} + 24 x – 36right) log{left (16 right )}}{2^{x} log{left (2 right )} + log{left (x^{4} right )} – log{left (474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856 right )}} = 0$$
$$frac{1}{2^{x} log{left (2 right )} + log{left (frac{x^{4}}{474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856} right )}} left(x^{4} log{left (16 right )} – x^{3} log{left (16777216 right )} + x^{2} log{left (1048576 right )} + x log{left (79228162514264337593543950336 right )} – log{left (22300745198530623141535718272648361505980416 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{2^{x} w + log{left (frac{x^{4}}{474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856} right )}} left(x^{4} log{left (16 right )} – x^{3} log{left (16777216 right )} + x^{2} log{left (1048576 right )} + x log{left (79228162514264337593543950336 right )} – log{left (22300745198530623141535718272648361505980416 right )}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w*2^x + log(x^4/474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856)
получим:
$$frac{left(2^{x} w + log{left (frac{x^{4}}{474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856} right )}right) left(x^{4} – 6 x^{3} + 5 x^{2} + 24 x – 36right) log{left (16 right )}}{2^{x} w + log{left (x^{4} right )} – log{left (474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856 right )}} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w*2+x+log+x+4/474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856)-36+x+4+6*x+3+5*x+2+24*xlog16-log+474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856 + w*2^x + logx+4) = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(w*2^x + log(x^4/474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856))*(-36 + x^4 – 6*x^3 + 5*x^2 + 24*x)*log(16)/(-log(474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856) + w*2^x + log(x^4)) = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

/ / 4
| x | x || / 4 3 2
|w*2 + log|———————————————————————————||* -36 + x – 6*x + 5*x + 24*x/*log(16)
474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856//
36 + ————————————————————————————————————————————— = 36
1
/ x / 4
-log(474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177856) + w*2 + logx //

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (2 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{24 x + 5 x^{2} + x^{4} – 6 x^{3} – 36}{2^{x – 2} + frac{log{left (x right )}}{log{left (2 right )}} – 67} geq 0$$

4 3 2
/-21 /-21 /-21 24*(-21)
|—-| – 6*|—-| + 5*|—-| + ——– – 36
10 / 10 / 10 / 10
———————————————– >= 0
1
/ /-21 21
|log|—-| – — – 2 |
| 10 / 10 |
|——— + 2 – 67|
| 1 |
log (2) /

106641
———————————————–
/ 9/10
| 2 -log(10) + pi*I + log(21)| >= 0
10000*|-67 + —– + ————————-|
32 log(2) /

Тогда
$$x leq -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -2 wedge x leq 2$$

_____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-
x1 x2 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x geq -2 wedge x leq 2$$
$$x geq 3$$